"pathological" 凸函数的快速优化

Question

我有一个简单的凸问题，我正在尝试加速解决。我正在求解

的 argmin (theta)

$-\sum_{t=1}^{T}\log(1 + \boldsymbol{\theta'} \boldsymbol{r_t})$

其中 theta 和 rt 是 Nx1.

我可以用 cvxpy 轻松解决这个问题

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
import cvxpy

np.random.seed(123)

T = 50
N = 5
R = np.random.uniform(-1, 1, size=(T, N))

cvtheta = cvxpy.Variable(N)
fn = -sum([cvxpy.log(1 + cvtheta.T * rt) for rt in R])

prob = cvxpy.Problem(cvxpy.Minimize(fn))
prob.solve()

prob.status
#'optimal'

prob.value
# -5.658335088091929

cvtheta.value
# matrix([[-0.82105079],
#         [-0.35475695],
#         [-0.41984643],
#         [ 0.66117397],
#         [ 0.46065358]])

但是对于更大的 R 这变得太慢了，所以我正在尝试使用 scipy 的 fmin_cg:

的基于梯度的方法

goalfun 是一个 scipy.minimize 友好的函数，returns 函数值和梯度。

def goalfun(theta, *args):
    R = args[0]
    N = R.shape[1]
    common = (1 + np.sum(theta * R, axis=1))**-1

    if np.any( common < 0 ):
        return 1e2, 1e2 * np.ones(N)

    fun = np.sum(np.log(common))

    thetaprime = np.tile(theta, (N, 1)).T
    np.fill_diagonal(thetaprime, np.ones(N))
    grad = np.sum(np.dot(R, thetaprime) * common[:, None], axis=0)

    return fun, grad

确保函数和梯度正确：

goalfun(np.squeeze(np.asarray(cvtheta.value)), R)
# (-5.6583350819293603,
#  array([ -9.12423065e-09,  -3.36854633e-09,  -1.00983679e-08,
#          -1.49619901e-08,  -1.22987872e-08]))

但是解决这个问题只会产生垃圾，而不管 method、迭代等等。（唯一会产生 Optimization terminated successfully 的是如果 x0 实际上等于最优 θ)

x0 = np.random.rand(R.shape[1])

minimize(fun=goalfun, x0=x0, args=R, jac=True, method='CG')
#   fun: 3.3690101669818775
#      jac: array([-11.07449021, -14.04017873, -13.38560561,  -5.60375334,  -2.89210078])
#  message: 'Desired error not necessarily achieved due to precision loss.'
#     nfev: 25
#      nit: 1
#     njev: 13
#   status: 2
#  success: False
#        x: array([ 0.00892177,  0.24404118,  0.51627475,  0.21119326, -0.00831957])

即cvxpy 轻松处理的这个看似无害的问题，对于非凸求解器来说完全是病态的。这个问题真的那么讨厌，还是我遗漏了什么？有什么替代方法可以加快速度？

Answer 1

我认为问题在于 theta 可能会使 log 论点变成否定的。看来您已经确定了这个问题，并且在这种情况下 goalfun return 元组 (100,100*ones(N)) 显然是一种启发式尝试，建议求解器认为此 "solution" 是不是 可取的 。但是，必须施加更强的条件，即 "solution" 不可行。当然，这可以通过提供适当的约束来完成。（有趣的是，cvxpy 似乎可以自动处理这个问题。）

这是一个示例运行，无需提供衍生工具。注意使用可行的初始估计 x0.

np.random.seed(123)

T = 50
N = 5
R = np.random.uniform(-1, 1, size=(T, N))

def goalfun(theta, *args):
    R = args[0]
    N = R.shape[1]
    common = (1 + np.sum(theta * R, axis=1))**-1

    return np.sum(np.log(common))

def con_fun(theta, *args):
    R = args[0]

    return 1+np.sum(theta * R, axis=1)


cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: con_fun(x, R)})

x0 = np.zeros(R.shape[1])
minimize(fun=goalfun, x0=x0, args=R, constraints=cons)

 fun: -5.658334806882614
 jac: array([ 0.0019, -0.0004, -0.0003,  0.0005, -0.0015,  0.    ])  message: 'Optimization terminated successfully.'
nfev: 92
 nit: 12
njev: 12   status: 0  success: True
   x: array([-0.8209, -0.3547, -0.4198,  0.6612,  0.4605])

请注意，当我运行这样做时，我收到 invalid value encountered in log 警告，表明在搜索的某个时刻检查了 theta 的值，该值几乎不满足约束条件。但是，结果与 cvxpy 的结果相当接近。当在 cvxpy.Problem 公式中明确施加约束时，检查 cvxpy 解决方案是否发生变化会很有趣。

"pathological" 凸函数的快速优化

Fast optimization of "pathological" convex function

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