模拟弹跳球？

Question

是否可以使用 Julia 的方程求解器创建弹跳球的简单模型？

我是这样开始的：

using ODE

function bb(t, f)
    (y, v) = f
    dy_dt = v
    dv_dt = -9.81
    [dy_dt, dv_dt]
end

const y0 =  50.0             # height
const v0 =   0.0             # velocity
const startpos = [y0; v0]

ts = 0.0:0.25:10             # time span

t, res = ode45(bb, startpos, ts)

生成看起来有用的数字：

julia> t
44-element Array{Float64,1}:
  0.0
  0.0551392
  0.25
  0.5
  0.75
  1.0
  ⋮
  8.75
  9.0
  9.25
  9.5
  9.75
 10.0

julia> res
44-element Array{Array{Float64,1},1}:
 [50.0,0.0]
 [49.9851,-0.540915]
 [49.6934,-2.4525]
 [48.7738,-4.905]
 [47.2409,-7.3575]
 ⋮
 [-392.676,-93.195]
 [-416.282,-95.6475]
 [-440.5,-98.1]

但是不知为何它需要在高度为0的时候进行干预，反转速度。还是我走错路了？

Answer 1

有点老套：

function bb(t, f)
    (y, v) = f
    dy_dt = v
    dv_dt = -9.81*sign(y)
    [dy_dt, dv_dt]
end

您只需遵循 y 和 -y 指代相同高度的约定。然后，您可以通过绘制 abs(y).

来绘制弹跳球的轨迹

Answer 2

DifferentialEquations.jl offers sophisticated callbacks and event handling. Since the DifferentialEquations.jl algorithms are about 10x faster while offering a higher order interpolation，无论如何，这些算法显然是更好的选择。

第一个 link 是说明如何进行事件处理的文档。简单的界面使用宏。我从定义函数开始。

f = @ode_def BallBounce begin
  dy =  v
  dv = -g
end g=9.81

这里我展示了 ParameterizedFunctions.jl 以使语法更好，但您可以直接将函数定义为就地更新 f(t,u,du)（如 Sundials.jl）。接下来定义确定事件何时发生的函数。它可以是任何为正且在事件时间为零的函数。在这里，我们正在检查球何时落地，或何时 y=0，因此：

function event_f(t,u) # Event when event_f(t,u,k) == 0
  u[1]
end

接下来你说事件发生时怎么办。这里我们要反转速度的符号：

function apply_event!(u,cache)
  u[2] = -u[2]
end

您将这些函数放在一起以使用宏构建回调：

callback = @ode_callback begin
  @ode_event event_f apply_event!
end

现在你照常解决。您使用 f 和初始条件定义 ODEProblem，然后在时间跨度上调用 solve。唯一额外的是您将回调与求解器一起传递：

u0 = [50.0,0.0]
prob = ODEProblem(f,u0)
tspan = [0;15]
sol = solve(prob,tspan,callback=callback)

然后我们可以使用绘图配方自动绘制解决方案：

plot(sol)

结果是这样的：

这里有几点需要注意：

DifferentialEquations.jl 将自动使用插值来更安全地检查事件。例如，如果事件发生在一个时间步内但不在末尾，DifferentialEquations.jl 仍会找到它。可以将更多或更少的插值点作为选项包含在 @ode_event 宏中。
DifferentialEquations.jl 在事件发生的那一刻使用了寻根方法。即使自适应求解器跳过了事件，通过在插值上使用寻根，它也找到了事件的确切时间，从而正确处理了不连续性。您可以在图表中看到这一点，因为球永远不会变负。
它能做的还有很多。 Check out the docs。你几乎可以用它做任何事情。例如，让您的 ODE 改变运行模型中具有出生和死亡的细胞群的大小。这是其他求解器包做不到的。
即使具有所有这些功能，速度也不会受到影响。

如果您需要向 "ease of use" 界面宏添加任何额外功能，请告诉我。

模拟弹跳球？

Simulate a bouncing ball?

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