通过归纳法证明算法正确

Question

我应该通过归纳法证明一个算法，它 returns 3ⁿ - 2ⁿ 对于所有 n >= 0。这是Eiffel写的算法。

P(n:INTEGER):INTEGER;
  do
    if n <= 1 then
        Result := n
    else
        Result := 5*P(n-1) - 6*P(n-2)
    end
  end

我的理解是你分三步证明。基础步骤、归纳假设和完整性证明。这是我目前拥有的。

基础：

P(0) returns 0，和 3⁰ - 2⁰ = 0。

P(1) returns 1，和 3¹ - 2¹ = 1.

归纳假设：

假设 P(k) returns 3^k - 2^k 0 <= k < n.

完整性证明：

对于 n，P(n) returns 5(P(n-1)) - 6(P(n-2))

5(P(n-1)) - 6(P(n-2))

5(3^n-1 - 2^n-1) - 6(3^n-2 - 2^n-2) <- 基于归纳假设

这是我卡住的部分。我到底应该如何将其缩小为 3ⁿ - 2ⁿ?

Answer 1

利用 3^n-1 = 3.3^n-2 和 2^n-1 = 2.2^n-2 :

5(3^n-1 - 2^n-1) - 6(3^n-2 - 2^n-2)

= 15(3^n-2) - 10(2^n-2) - 6(3 ^n-2) + 6(2^n-2)

= 9.3^n-2 - 4.2^n-2

= 3ⁿ - 2ⁿ

Answer 2

  5(3^(n-1)-2^(n-1))-6(3^(n-2)-2^(n-2)) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-6*3^(n-2)+6*2^(n-2) =
= 5*3^(n-1)-5*2^(n-1)-2*3^(n-1)+3*2^(n-1) =
  --------- ========= --------- =========
= 3*3^(n-1)-2*2^(n-1) = 
= 3^n - 2^n