使用 QR 分解在 R 中进行多元回归分析

Question

我正在尝试编写一个使用 QR 分解求解多元回归的函数。输入：y向量和X矩阵；输出：b、e、R^2。到目前为止，我已经明白了，而且被困住了；我想我把一切都搞得太复杂了：

QR.regression <- function(y, X) {
X <- as.matrix(X)
y <- as.vector(y)
p <- as.integer(ncol(X))
if (is.na(p)) stop("ncol(X) is invalid")
n <- as.integer(nrow(X))
if (is.na(n)) stop("nrow(X) is invalid")
nr <- length(y)
nc <- NCOL(X)

# Householder 
for (j in seq_len(nc)) {
id <- seq.int(j, nr)
sigma <- sum(X[id, j]^2)
s <- sqrt(sigma)
diag_ej <- X[j, j]
gamma <- 1.0 / (sigma + abs(s * diag_ej))
kappa <- if (diag_ej < 0) s else -s
X[j,j] <- X[j, j] - kappa
if (j < nc)
for (k in seq.int(j+1, nc)) {
yPrime <- sum(X[id,j] * X[id,k]) * gamma
X[id,k] <- X[id,k] - X[id,j] * yPrime
}
yPrime <- sum(X[id,j] * y[id]) * gamma
y[id] <- y[id] - X[id,j] * yPrime
X[j,j] <- kappa
} # end of Householder transformation

rss <- sum(y[seq.int(nc+1, nr)]^2)  # residuals sum of squares
e <- rss/nr
e <- mean(residuals(QR.regression)^2)
beta <- solve(t(X) %*% X, t(X) %*% y)
for (i in seq_len(ncol(X))) # set zeros in the lower triangular side of X
X[seq.int(i+1, nr),i] <- 0
Rsq <- (X[1:nc,1:nc])^2
return(list(Rsq=Rsq, y = y, beta = beta, e = e))
}


UPDATE:
my.QR <- function(y, X) {
X <- as.matrix(X)
y <- as.vector(y)
p <- as.integer(ncol(X))
if (is.na(p)) stop("ncol(X) is invalid")
n <- as.integer(nrow(X))
if (is.na(n)) stop("nrow(X) is invalid")
qr.X <- qr(X)
b <- solve(t(X) %*% X, t(X) %*% y)
e <- as.vector(y - X %*% beta) #e
R2 <- (X[1:p, 1:p])^2
return(list(b = b, e= e, R2 = R2 ))
}

X <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), nrow = 2, ncol = 3)
y <- c(1,2,3,4)
my.QR(X, y)

Answer 1

这完全取决于您可以使用多少 R 的内置工具来解决此问题。我已经知道 lm 是不允许的，所以下面是故事的其余部分。

如果允许您使用除lm

以外的任何其他例程

那么您可以简单地使用lm.fit、.lm.fit或lsfit进行基于QR的普通最小二乘法求解。

lm.fit(X, y)
.lm.fit(X, y)
lsfit(X, y, intercept = FALSE)

其中，.lm.fit最轻，lm.fit和lsfit差不多。以下是我们可以通过 .lm.fit:

做的事情

f1 <- function (X, y) {
  z <- .lm.fit(X, y)
  RSS <- crossprod(z$residuals)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  list(coefficients = z$coefficients, residuals = z$residuals, R2 = R2)
  }

在你同学的问题中：，我已经用这个来检查SVD方法的正确性

如果不允许使用 R 的内置 QR 分解例程 qr.default

如果.lm.fit不允许，但是qr.default可以，那么也没有那么复杂。

f2 <- function (X, y) {
  ## QR factorization `X = QR`
  QR <- qr.default(X)
  ## After rotation of `X` and `y`, solve upper triangular system `Rb = Q'y` 
  b <- backsolve(QR$qr, qr.qty(QR, y))
  ## residuals
  e <- as.numeric(y - X %*% b)
  ## R-squared
  RSS <- crossprod(e)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  ## multiple return
  list(coefficients = b, residuals = e, R2 = R2)
  }

如果您还需要估计系数的方差-协方差，请遵循。

如果你连使用都不允许qr.default

那我们就得自己写QR分解了。正在给这个。

使用那里的函数myqr，我们可以写

f3 <- function (X, y) {
  ## our own QR factorization
  ## complete Q factor is not required
  QR <- myqr(X, complete = FALSE)
  Q <- QR$Q
  R <- QR$R
  ## rotation of `y`
  Qty <- as.numeric(crossprod(Q, y))
  ## solving upper triangular system
  b <- backsolve(R, Qty)
  ## residuals
  e <- as.numeric(y - X %*% b)
  ## R-squared
  RSS <- crossprod(e)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  ## multiple return
  list(coefficients = b, residuals = e, R2 = R2)
  }

f3 不是非常有效，因为我们已经明确地形成了 Q，即使它是 thin-Q 因子。原则上我们应该随着X的QR分解一起旋转y，所以不需要形成Q。

如果您想修复现有代码

这需要一些调试工作，因此需要一些时间。稍后我会再做一个回答。

使用 QR 分解在 R 中进行多元回归分析

Multiple regression analysis in R using QR decomposition

regression

r

matrix

linear-regression

qr-decomposition