python

Question

我正在尝试通过 Codility here（采蘑菇问题）中的示例来理解前缀和概念背后的思想

我的理解是，整个概念是基于简单的属性，其中求数组的两个位置 A(pos_left, pos_right) 之间所有元素的总和使用第二个数组 P，其中所有元素连续求和，搜索的总和计算为
值（P（pos_right + 1））-值（P（pos_left））。

A 1 2 3 4 5  6
P 0 1 3 6 10 15 21
sum of all elements between A[2] and A[5] = 3+ 4 + 5 = 12
or using the prefix sums"   P[5+1] - P[2] = 15 -3 = 12

The problem
There is a street with mushroom at every place represented by a non-empty vector. Given the initial position of a picker and its movement range, possible maximum number of mushrooms to collect is looked for.

看这个例子我不明白循环构造背后的逻辑。任何人都可以澄清这个算法的机制吗？

其次，我发现这个例子中的 positoin 索引非常混乱和繁琐。 "shift" 前缀和开头为零的向量是常见的做法吗？（向量中的元素计数默认从 python 中的 0 开始，这一事实已经引起了一些混乱）。

解决方法

def prefix_sums(A):
  n = len(A)
  P = [0] * (n + 1)
  for k in xrange(1, n + 1):
      P[k] = P[k - 1] + A[k - 1]
  return P


def count_total(P, x, y):
    return P[y + 1] - P[x]

# A mushroom picker is at spot number k on the road and should perform m moves
def mushrooms(A, k, m):
    n = len(A)
    result = 0
    pref = prefix_sums(A)
    for p in xrange(min(m, k) + 1):   # going left
        left_pos = k - p
        right_pos = min(n - 1, max(k, k + m - 2 * p))
        result = max(result, count_total(pref, left_pos, right_pos))
    for p in xrange(min(m + 1, n - k)):
        right_pos = k + p
        left_pos = max(0, min(k, k - (m - 2 * p)))
        result = max(result, count_total(pref, left_pos, right_pos))
    return result

我有运行一些小数组示例 A= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] ，选择位置 k=5 和范围 m = 3。我不明白创建要检查的范围的逻辑通过两个循环。

我得到以下循环参数

(p=, left_pos=, right_pos=)   
loop 1  (0,5,8), (1,4,6),(2,3,5),(3,2,5)
loop 2  (0,2,5), (1,4,6), (2,5,7), (3,5,8)

范围不同。为什么？

调试版本

def mushrooms2(A, k, m):
    n = len(A)
    result = 0
    pref = prefix_sums(A)
    l1 =min(m, k) + 1
    print 'loop p in xrange(min(m, k) + 1): %d' % l1
    for p in xrange(min(m, k) + 1):
        print 'p %d' % p
        print 'A= %r' % A
        print 'pref= %r' % pref
        left_pos = k - p
        right_pos = min(n - 1, max(k, k + m - 2 * p))
        result = max(result, count_total(pref, left_pos, right_pos))
        print 'left_pos = k - p= %d' % left_pos
        print 'right_pos= min(n-1,max(k,k+m-2*p))= %d' % right_pos
        print 'max'
        print '(result %d' % result
        print 'count_total(pref, left_pos, right_pos)) %r, %r, %r, %r' % (pref,left_pos, right_pos,count_total(pref, left_pos, right_pos))
        print 'result= %d' % result
        print 'next p'
    l2=min(m + 1, n - k)
    print   'loop xrange(min(m + 1, n - k)): %d' % l2
    for p in xrange(min(m + 1, n - k)):
        print 'p %d' % p
        print 'A= %r' % A
        print 'pref= %r' % pref
        right_pos = k + p
        left_pos = max(0, min(k, k - (m - 2 * p)))
        result = max(result, count_total(pref, left_pos, right_pos))
        print 'right_pos = k + p= %d' % right_pos
        print 'left_pos = max(0, min(k, k - (m - 2 * p)))= %d' % left_pos
        print 'max'
        print '(result %d' % result
        print 'count_total(pref, left_pos, right_pos)) %r, %r, %r, %r' % (pref,left_pos, right_pos,count_total(pref, left_pos, right_pos))
        print 'result= %d' % result
        print 'next p'
    print 'result %d' % result
    return result

Answer 1

认为循环构造违反直觉的不止您一个，因为我也不得不花几分钟时间研究它。这是我想出来的。

现在，link 中的解决方案提供了更多详细信息，最佳策略是以这样一种方式在路径上行走，即只改变方向一次。以这种方式，一个人能够覆盖左右端点的范围，left_pos 和 right_pos 似乎代表。

关于循环的细节，与其根据循环变量（即 p）来考虑循环，更容易弄清楚循环过程中发生了什么变化，以及如何发生变化p 被使用。否则，一开始弄清楚那些 min 和 max 表达式中的内容似乎有点太奇怪了。

例如，在第一个循环中，不要弄清楚该范围代表什么，而是尝试 left_pos 如何受到不同值 p 的影响。经过一番思考，人们注意到 left_pos 以一种符合可能的左端点的方式发生变化。

具体来说，当p == 0时，左端点为起始索引（即k），当p为min(m, k)时，则为0（即如果k < m) 或 (k - m)。在前一种情况下，这是左端点可以到达的最远距离，因为它会超出道路上有效的点范围。在后一种情况下，移动次数禁止 left_pos 小于 (k - m) 的任何解决方案，因为不可能从 k 到 m 移动中的那些索引。

在第一个循环中对right_pos的赋值可以用类似的方式解释。 min 语句包括 (n-1)，这是可以达到的最右边的合法索引，它用于将正确的端点保持在允许的范围内。内部最大语句具有 k，因为它是 right_pos 的最小可能值。（即由于 k 是起点）它还有一个表达式 (k + m - 2 * p)。此表达式表示以下过程：

向左走 p 步。
改变方向，向右走p步到达起点。
用剩下的 (m - 2p) 步向右走。

第二个循环只是第一个循环的反映，您可以通过调整我对第一个循环的解释来简单地解释它。

关于你的第二个问题，我认为移动前缀和数组的索引不是常见的做法。我通常在在线编程竞赛中使用此方法，我对您在 Python 中使用的前缀和数组的实现如下。

def prefix_sums(A):
    n = len(A)
    P = [0] * n
    P[0] = A[0]
    for k in xrange(1, n):
        P[k] = P[k - 1] + A[k]
    return P

def count_total(P, x, y):
    return (P[y] - P[x - 1] if x > 0 else P[y])

上述实现背后的基本思想是，在 P[x]，我们有总和 A[0] + A[1] + ... + A[x]。

Answer 2

阅读主题后仍然很难理解这个想法，直到我实现了天真的解决方案（这是 codility document 中的第一个）

难以理解的解决方案 #2 只是简单地模仿左右移动，所有这些看起来很奇怪的计算只是为了获得区域的左右限制（因为你真的会在其中移动）。所以每次迭代意味着使用 6 个步骤的一个完整循环。

如果你向左移动然后向右移动 (p=0...M)，你有

左 0 步，右 6 步（真的 0 和 2 步导致数组外边界），所以区域的左边界在索引 4 处，右边界在索引 6
向左 1 步，向右 5 步（实际上是 1 和 3），所以左边框位于索引 3，右边框位于索引 6
左2步，右4步（真的是2和4）...继续计算

这是我的 PHP 版本，其中包含过于简化的代码和其他变量以便于理解

function prefix_sums(array $a)
{
    $n = count($a);
    $p = array_fill(0, $n + 1, 0);
    for ($i = 1; $i <= $n; $i++) {
        $p[$i] = $p[$i - 1] + $a[$i - 1];
    }
    return $p;
}

function count_total($p, $x, $y)
{
    return $p[$y + 1] - $p[$x];
}

function mushrooms(array $a, int $k, int $m)
{
    $n = count($a) - 1;
    $max = 0;
    $sums = prefix_sums($a);
    //start  moving to the left and then the right
    for ($p = 0; $p < $m; $p++) {
        $stepsLeft = $p;
        $realStepsLeft = min($k, $stepsLeft);
        $leftBorder = $k - $realStepsLeft;

        $stepsRight = $m - $stepsLeft;
        $realStepsRight = min($n - $leftBorder, $stepsRight);
        $rightBorder = $leftBorder + $realStepsRight;

        $max = max($max, count_total($sums, $leftBorder, $rightBorder));
    }
    //moving to the right and then the left
    for ($p = 0; $p < $m; $p++) {
        $stepsRight = $p;
        $realStepsRight = min($p, $n - $k);
        $rightBorder = $k + $realStepsRight;

        $stepsLeft = $m - $stepsRight;
        $realStepsLeft = min(($k + $realStepsRight), $stepsLeft);
        $leftBorder = $rightBorder - $realStepsLeft;

        $max = max($max, count_total($sums, $leftBorder, $rightBorder));
    }
    return $max;
}

assert(ASSERT_EXCEPTION, 1);
assert(mushrooms([2, 3, 7, 5, 1, 3, 9], 4, 6) == 25);

echo 'Success';

python - 前缀和算法

python - prefix sum algorithm

algorithm

prefix-sum