R2Cuba 和 integrate() 之间的结果不一致

Question

在计算 two-fold 积分时，包 "R2Cuba" 中的 integrate() 和 suave() 结果不一致。

$\int_0^T \phi(x)^2g(x)dx$

其中

$\phi(x) = \int_x^T f(x)dx$

可以找到与此主题相关的类似问题，让我们设置f(x)=6*sin(x) 和g(x)=1，上时间T=3。

以下代码使用 integrate() 和 suave() 计算 objective 二次积分：

library(R2Cuba)

integrand = function(x){6*sin(x)}

phi = function(x){integrate(integrand,lower=x,upper = 3)[["value"]]^2}

NDIM=1
NCOMP=1

phicuba= function(x){suave(NDIM,NCOMP,integrand,lower=x,upper=3)$value^2}

foldintegral = integrate(Vectorize(phi),lower = 0,upper = 3)

foldintegralcuba = suave(NDIM,NCOMP,phicuba,lower = 0,upper = 3)

结果：

> foldintegral
167.3934 with absolute error < 1.9e-12
> foldintegralcuba
integral: 6.365749 (+-0.0057)
nregions: 8; number of evaluations:  10000; probability:  1

这是不一致的。但是，如果我们只比较 phi 和 phicuba

> phi(2)
[1] 11.85476
> phicuba(2)
Iteration 1:  1000 integrand evaluations so far
[1] 3.44367 +- 0.0429822    chisq 0 (0 df)
Iteration 2:  2000 integrand evaluations so far
[1] 3.4436 +- 0.00866171    chisq 0.00513973 (2 df)
Iteration 3:  3000 integrand evaluations so far
[1] 3.44181 +- 0.00386046   chisq 5.38913 (5 df)
Iteration 4:  4000 integrand evaluations so far
[1] 3.44283 +- 0.00206345   chisq 23.0816 (8 df)
[1] 11.85309

我们得到了一个可以被视为一致的结果。此外，如果我们使用替换 suave()

中的被积函数

> suave(NDIM,NCOMP,phi,lower = 0,upper = 3)
Iteration 1:  1000 integrand evaluations so far
[1] 167.426 +- 4.91983      chisq 0 (0 df)
Iteration 2:  2000 integrand evaluations so far
[1] 167.315 +- 0.771248     chisq 0.00208764 (2 df)
Iteration 3:  3000 integrand evaluations so far
[1] 167.357 +- 0.432941     chisq 5.50239 (5 df)
Iteration 4:  4000 integrand evaluations so far
[1] 167.362 +- 0.129012     chisq 5.51661 (8 df)
integral: 167.3621 (+-0.13)
nregions: 4; number of evaluations:  4000; probability:  0.2988006

我们仍然有一致的结果。

我希望我可以使用 suave() 因为它在处理复杂的积分时要快得多，但为什么会存在这种不一致？

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好像是因为suave()中使用的算法，From the Cuba Documentation，suave使用了全局自适应细分+重要性采样。如果把suave()改成cuhre()，只使用全局自适应细分，一切应该是一致的。

Answer 1

好像是因为suave()中使用的算法，来自古巴文档，suave使用全局自适应细分+重要性采样。如果把suave()改成cuhre()，只使用全局自适应细分，一切都应该是一致的。

R2Cuba 和 integrate() 之间的结果不一致

Inconsistent results between R2Cuba and integrate()

r

numerical-integration