枫树中的 Dirac delta 函数

Question

我正在尝试在方程组中使用 Dirac delta 函数，以便 h(t) 在 t=1.5、t=3、t=4.5 等处增加。

下面是我的代码：

A:=30: a:=1: dm:=3: c3:=5: d0:=1/a: t0:=1/dm: h0:=B0: y:=A*a:  cc:=t0*c3:  #same as cc=c3/Bm 
N:=8: T:=0.5:

sys_ode:= diff(h(t),t)=y*sum(Dirac(t-dm*n*T),n=0..N) - exp(1-d(t))*h(t), diff(d(t),t)=exp(1-d(t))*h(t) - cc*d(t);

ics:=h(0)=A*a, d(0)=0:
ND:=dsolve([sys_ode,ics],numeric); #numerical solution to the system


ND(1);

ND(2);

ND(3);

ND(4);

目前当我运行我得到：

ND(1);
      [t = 1., d(t) = HFloat(2.6749858704773097), 

        h(t) = HFloat(23.164506116038023)]
ND(2);
      [t = 2., d(t) = HFloat(2.5365091646635465), 

        h(t) = HFloat(18.95651519442652)]
ND(3);
      [t = 3., d(t) = HFloat(2.376810307084265), 

        h(t) = HFloat(15.018803909414379)]
ND(4);
      [t = 4., d(t) = HFloat(2.1927211646807137), 

        h(t) = HFloat(11.391114874494281)]

但是理论上 h(t) 的值应该增加，因为系统在 t=1.5 和 t=3 时有输入，并且没有一直下降到 h(t)=11.39 在 t =4.

如果我有任何错误的想法，我们将不胜感激。谢谢

Answer 1

为 Maple 2015.0 添加了对包含 0 阶 Dirac 函数的 ODE 问题的数值积分支持。由于此添加，您显示的集成结果如下所示：

> ND(1);
       [t = 1., d(t) = 3.01973877409584, h(t) = 37.2561191650856]

> ND(2);
       [t = 2., d(t) = 3.38932165514909, h(t) = 61.6360962313253]

> ND(3);
       [t = 3., d(t) = 3.32743891599543, h(t) = 71.0940887774625]

> ND(4);
       [t = 4., d(t) = 3.59829473587253, h(t) = 79.8444924691185]

功能确实在增加

在之前的 Maple 版本中，没有对 Dirac 的数值积分进行特殊处理，因此除非有人准确命中 Dirac-0 点，否则它们将被忽略，如果命中，积分将停止并出现 undefined .旧的方法就像狄拉克函数不存在一样有效，这与您的结果一致：

> sys_ode:= diff(h(t),t)= - exp(1-d(t))*h(t),
>           diff(d(t),t)=exp(1-d(t))*h(t) - cc*d(t):
> ND:=dsolve([sys_ode,ics],numeric):

> ND(1);
       [t = 1., d(t) = 2.67498587047731, h(t) = 23.1645061160380]

> ND(2);
       [t = 2., d(t) = 2.53650916466355, h(t) = 18.9565151944265]

> ND(3);
       [t = 3., d(t) = 2.37681030708426, h(t) = 15.0188039094144]

> ND(4);
       [t = 4., d(t) = 2.19272116468071, h(t) = 11.3911148744943]

枫树中的 Dirac delta 函数

Dirac delta function in maple

maple