曲线拟合强烈变化的数据

Question

我正在使用 Matlab 曲线拟合工具 cftool 来拟合我的数据。问题是 y 的值相对于 x-axis 变化很大（急剧下降）。下面给出一个示例，

x         y
0.1     237.98
1       25.836
10      3.785
30      1.740
100     0.804
300     0.431
1000    0.230
2000    0.180

拟合格式为：y=a/x^b+c/x^d，其中 a、b、c 和 d 为常量。 matlab 的曲线拟合对于较大的 y-values（在较低的 x 范围内）非常准确，偏差小于 0.1%。然而，在更高 x-values 时，拟合的准确性并不好（大约 11% 的偏差）。我还想在曲线拟合迭代中包含 % deviation 以确保准确捕获数据。该图用于拟合和数据参考。

谁能建议我更好的拟合数据的方法？

Answer 1

拟合曲线最常用的方法是进行最小二乘法拟合，它可以最小化数据与拟合之间的平方差之和。这就是当 y 较大时拟合更紧密的原因：值 0.18 的 11% 偏差仅为 0.000392 的平方误差，而值 240 的 0.1% 偏差是 0.0576 的平方误差，更重要。

如果您关心的是偏差而不是绝对（平方）误差，那么您可以重新制定拟合算法，或者以巧妙的方式转换您的数据。第二种方式是常用的好用的工具要知道。

在您的情况下，一种方法是适合 log(y) 而不是 y。这将使小错误变得更加重要：

data = [0.1     237.98
1       25.836
10      3.785
30      1.740
100     0.804
300     0.431
1000    0.230
2000    0.180];

x = data(:,1);
y = data(:,2);


% Set up fittype and options.
ft = fittype( 'a/x^b + c/x^d', 'independent', 'x', 'dependent', 'y' );
opts = fitoptions( 'Method', 'NonlinearLeastSquares' );
opts.Display = 'Off';
opts.StartPoint = [0.420712466925742 0.585539298834167 0.771799485946335 0.706046088019609];

%% Usual least-squares fit
[fitresult] = fit( x, y, ft, opts );
yhat =  fitresult(x);
% Plot fit with data.
figure
semilogy( x, y );
hold on
semilogy( x, yhat);

deviation = abs((y-yhat))./y * 100

%% log-transformed fit
[fitresult] = fit( x, log(y), ft, opts );
yhat = exp(fitresult(x));
% Plot fit with data.
figure
semilogy( x, y );
hold on
semilogy( x, yhat );

deviation = abs((y-yhat))./y * 100

Answer 2

一种方法是拟合最低平方和相对误差，而不是最低平方和绝对误差。当我使用您问题中发布的数据时，拟合最低平方和相对误差会产生 +/- 4% 的误差 - 因此这可能是一个有用的选项。为了验证您是否想考虑这种方法，这里是我使用这种方法从您发布的数据中确定的系数：

a =  2.2254477037465399E+01
b =  1.0038013513610324E+00
c =  4.1544917994119190E+00
d =  4.2684956973959676E-01

曲线拟合强烈变化的数据

Curve fitting a strongly varying data

matlab

curve-fitting