计算面法线和缠绕

Question

给定一个凸多面体，其顶点 (x, y, z) 指定多面体的面。

如何计算多面体每个面的表面法线？

我需要表面法线来计算顶点法线以执行 Gouraud shading。关于如何做到这一点，我能找到的唯一线索是 Newell 的方法，但我如何确保法线是向外法线而不是向内法线？感谢您的帮助。

Answer 1

计算人脸法线

您必须计算跨越包含给定面的平面的两个向量的叉积。它为您提供该面的（非单位）法向量。您必须对其进行归一化，然后就完成了。

如果x0、x1、x2是三角形面的顶点，那么法线可以计算为

vector3 get_normal(vector3 x0, vector3 x1, vector3 x2)
{
    vector3 v0 = x0 - x2;
    vector3 v1 = x1 - x2;
    vector3 n = cross(v0, v1);

    return normalize(n);
}

请注意叉积遵循 right-hand rule:

The right-hand rule states that the orientation of the vectors' cross product is determined by placing u and v tail-to-tail, flattening the right hand, extending it in the direction of u, and then curling the fingers in the direction that the angle v makes with u. The thumb then points in the direction of cross(u, v).

确定三角形的方向

为确保所有法线都指向多面体的 inside/outside，三角形必须统一定向，这意味着所有顶点必须遵循逆时针 (CCW) 或顺时针 (CW)命令。这在计算机图形学中也被称为缠绕。

您可以通过计算下方矩阵的行列式来检查三角形的方向，其中 x3 是第四个点，即您在测试期间的视点。

| x0.x  x0.y  x0.z  1 |
| x1.x  x1.y  x1.z  1 |
| x2.x  x2.y  x2.z  1 |
| x3.x  x3.y  x3.z  1 |

行列式 > 0: x3 在由逆时针点 { x0, x1, x2 }

+

行列式 < 0: x3 在逆时针点 { x0, x1, x2 }

-

行列式 = 0: x3 与 { x0, x1, x2 }

旋转顶点的顺序（通过向左或向右移动所有顶点）不会改变方向。所以 { x0, x1, x2 } 与 { x2, x0, x1 } 和 { x1, x2, x0 } 具有相同的方向。

但是，如果交换两个连续元素的顺序，也会交换到相反的方向。这意味着 { x0, x1, x2 } 与 { x1, x0, x2 } 的方向相反。

使用此信息，您可以轻松地确定三角形的方向：使用谓词矩阵测试每个三角形。如果测试失败，只需交换任意两个连续顶点元素的顺序即可解决问题。

Answer 2

一种简单的方法是首先通过对所有顶点进行平均来计算多面体的（重）中心 C。由于多面体是凸的，因此这将位于其内部。然后对于每个面通过面的任意两条边的叉积计算法线，然后通过计算法线与V-C的点积来确定法线的方向，其中V是面上的顶点之一；如果此点积为负，则法线是向内的，因此取反（的每个分量）法线以获得向外的法线。

计算面法线和缠绕

Computing face normals and winding

c++

3d

geometry

normals

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