牛顿拉夫森无解

Question

我正在使用 Newton Raphson 方法在 Java 中找到评估函数的根。我正在使用具有以下终止条件的 while 循环：

while(Math.abs(eval_x / deriv_x) > epsilon)

显然，如果差异大于 epsilon，则可能会产生无限循环。我应该用更大的值替换 epsilon 还是应该包含一个在达到特定的大值时打破 while 循环的计数器？

我想知道如何实现牛顿法的标准终止条件。

Answer 1

通常，对于像牛顿法这样的方法，有许多终止条件：

1. 迭代次数的上限。例程可能会得到 "stuck" 或发散，如果您没有找到根，则应该在一定的最大迭代后退出。

2. 对 x 变化的容忍度。这可以是相对的也可以是绝对的。如果算法在 x 中产生的变化低于某个值（例如 1e-6）并且您尚未收敛，那么您可能会停留在固定点。

3. 说到固定点，如果你的梯度（导数）低于一定的公差你应该终止，因为你可能会在一个固定点结束，如果你正在做一维的情况，除零。

4. 函数绝对值的公差。这是您希望离零有多近的最终衡量标准。

请记住，如果您将函数值公差设置得过紧，牛顿法可能永远不会产生足够小的 x 值变化以让您处于公差范围内。因此，为什么你应该在 dx 上停下来——当然还有最大迭代次数。