Matlab中'qr'和'SVD'获取矩阵的单个向量有什么区别？
What is the difference between 'qr' and 'SVD' in Matlab to get the single vectors of a matrix?
具体来说，下面两种代码可以理想地得到相同的S和V。但是，在 Matlab 中，第二个的速度通常比第一个快。有人可以告诉我原因吗？
此外，哪种方法在数值上更稳定？
谢谢
[~,S,V] = svd(B,'econ');
[Qc,Rc] = qr(B',0);
[U,S,~] = svd(Rc,'econ');
V = Qc*U;
第二种方法不一定要更快。对于几乎平方的矩阵，它可能会更慢。以 Golub-Reinsch SVD 算法为例：
它的工作取决于你想要计算的输出（只有S、S和V或S、V和U).
如果要计算 S 和 V 而不执行任何预处理，则所需的工作是 4mn^2+8n^3.
如果您在此之前执行 QR 分解，则需要的工作量为：2/3n^3+n^2+1/3n-2 用于Housholder 转换。现在，如果您的矩阵几乎是平方的，即 m=n，您将获得不多，因为 R 仍然是 m x n。但是 如果 m 大于 n，您可以将 R 简化为 n x n 矩阵（称为薄 QR 分解）。现在您想计算 U 和 S，这将为您的 SVD 算法添加 12n^3。
所以只有 SVD：4mn^2+8n^3
带 QR 的 SVD：(12+2/3)n^3+n^2+1/3n-2
然而，大多数 SVD 算法应该包括一些 (R-) 双对角化，这会将工作减少到：2mn^2+11n^3
您还可以应用 QR、R 双因子分解和 SVD 以使其更快，但这完全取决于您的矩阵维度。
Matlab 将 Lapack 库用于 SVD。您可以查找确切的运行时间 here。它们与上述算法大致相同。
希望这对您有所帮助。
具体来说，下面两种代码可以理想地得到相同的S和V。但是，在 Matlab 中，第二个的速度通常比第一个快。有人可以告诉我原因吗？ 此外，哪种方法在数值上更稳定？ 谢谢
[~,S,V] = svd(B,'econ');
[Qc,Rc] = qr(B',0);
[U,S,~] = svd(Rc,'econ');
V = Qc*U;
第二种方法不一定要更快。对于几乎平方的矩阵，它可能会更慢。以 Golub-Reinsch SVD 算法为例：
它的工作取决于你想要计算的输出（只有S、S和V或S、V和U).
如果要计算 S 和 V 而不执行任何预处理，则所需的工作是 4mn^2+8n^3.
如果您在此之前执行 QR 分解，则需要的工作量为：2/3n^3+n^2+1/3n-2 用于Housholder 转换。现在，如果您的矩阵几乎是平方的，即 m=n，您将获得不多，因为 R 仍然是 m x n。但是 如果 m 大于 n，您可以将 R 简化为 n x n 矩阵（称为薄 QR 分解）。现在您想计算 U 和 S，这将为您的 SVD 算法添加 12n^3。
所以只有 SVD：4mn^2+8n^3
带 QR 的 SVD：(12+2/3)n^3+n^2+1/3n-2
然而，大多数 SVD 算法应该包括一些 (R-) 双对角化，这会将工作减少到：2mn^2+11n^3
您还可以应用 QR、R 双因子分解和 SVD 以使其更快，但这完全取决于您的矩阵维度。
Matlab 将 Lapack 库用于 SVD。您可以查找确切的运行时间 here。它们与上述算法大致相同。
希望这对您有所帮助。