减少寻找 N 线交点所花费的时间

Question

有N条线段，要么是水平的，要么是垂直的。现在我需要找出每条线段的交点总数和交点总数。 N 最多可达 100000。我试着检查每一对线。答案是正确的，但我需要减少它所花费的时间。

这是我的代码：

using namespace std;

typedef struct Point
{
     long long int x;
     long long int y;
} ;


bool fun(Point p0, Point p1, Point p2, Point p3)
{
    double s1_x, s1_y, s2_x, s2_y;
    s1_x = p1.x - p0.x;     s1_y = p1.y - p0.y;
    s2_x = p3.x - p2.x;     s2_y = p3.y - p2.y;

    double s, t;
    s = (-s1_y * (p0.x - p2.x) + s1_x * (p0.y - p2.y)) / (-s2_x * s1_y + s1_x * s2_y);
    t = ( s2_x * (p0.y - p2.y) - s2_y * (p0.x - p2.x)) / (-s2_x * s1_y + s1_x * s2_y);

    if (s >= 0 && s <= 1 && t >= 0 && t <= 1)
    {
        return 1; // Collision detected
    }

    return 0; // No collision
}


int main()
{
     long long int n // number of line segments;

     Point p[n],q[n]; // to store end points of line segments

    for( long long int i=0;i<n;i++)
    {

// line segments is defined by 2 points P(x1,y1) and Q(x2,y2)
        p[i].x=x1;
        p[i].y=y1;
        q[i].x=x2;
        q[i].y=y2;
    }

    for( long long int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for( long long int j=i+1;j<n;j++)
        {
            if(fun(p[i],q[i],p[j],q[j]))
               count++;
        }

    }

    return 0;
}

有人可以帮我降低这个程序的时间复杂度吗？

Answer 1

这是一个时间复杂度为 O(n log n) 的算法，它使用带有 Fenwick 树的扫描线。

第0步：坐标重映射

对 x 坐标进行排序，并用 0..n-1 中的整数替换每个值，以保持顺序。对 y 坐标执行相同的操作。保留交集属性，同时允许下面的算法更容易实现。

第一步：平行线段

我将针对水平段描述此步骤。重复垂直段。

按 y 坐标对水平线段进行分组。一次处理一组，为扫描线创建事件，如下所示。每个段在其较小端点处获得一个开始事件，在其较大端点处获得一个停止事件。如果您想要封闭的线段，则排序在停止之前开始。按排序顺序扫描事件，跟踪当前与扫描线相交的线段数和处理的启动事件数。一个段的平行交集数为（开始时相交的段数+停止时处理的开始事件数-开始时处理的开始事件数）。（另请参阅 Given a set of intervals, find the interval which has the maximum number of intersections，了解我之前对此的解释。）

第二步：垂直线段

我将通过计算每个水平线段与它相交的垂直线段的数量来描述此步骤。

我们再做一个扫描线算法。这些事件是水平线段开始、垂直线段和水平线段停止，假定闭合线段按该顺序排序。我们使用 Fenwick 树来跟踪，对于每个 y 坐标，到目前为止有多少垂直线段覆盖了该 y 坐标。要处理水平起点，请从其交点计数中减去其 y 坐标的树值。要处理水平停靠点，请将其 y 坐标的树值添加到其交点计数。这意味着计数增加了差值，差值是在水平线处于活动状态时刺穿水平线的垂直线段的数量。要处理垂直线段，请使用 Fenwick 树的功能快速递增其较小 y 坐标和较大坐标之间的所有值（假设闭合线段包括在内）。

如果需要，可以组合这些扫描线算法。出于说明性原因，我将它们分开。

减少寻找 N 线交点所花费的时间

Reduce time taken to find N line intersection

c++

algorithm

time-complexity

line-intersection