math-类：证明Munit是它自己的否定

Question

我刚刚开始使用 math-类库，我想证明以下引理：

Require Import
    MathClasses.interfaces.abstract_algebra MathClasses.interfaces.vectorspace MathClasses.interfaces.canonical_names. 

Lemma Munit_is_its_own_negation `{Module R M} : Munit = - Munit.

我正打算这样证明：

使用 right_identity 将 Munit 添加到右侧：Munit = - Munit & Munit
右边使用left_inverse：Munit = Munit
使用reflexivity.

但是，当我尝试应用 rewrite <- right_inverse 时，出现以下错误：

Error:
Unable to satisfy the following constraints:
In environment:
R : Type
M : Type
Re : Equiv R
Rplus : Plus R
Rmult : Mult R
Rzero : Zero R
Rone : One R
Rnegate : Negate R
Me : Equiv M
Mop : SgOp M
Munit : MonUnit M
Mnegate : Negate M
sm : ScalarMult R M
H : Module R M

?A : "Type"

?B : "Type"

?H : "Equiv (MonUnit M)"

?op : "?A → ?B → MonUnit M"

?inv : "?A → ?B"

?RightInverse : "RightInverse ?op ?inv Munit"

为什么 Coq 寻找环境中的 Equiv (MonUnit M) 而不仅仅是 Equiv M 或 MonUnit M？是否可以完成此证明？如果可以，怎么做？

Answer 1

Munit 是参数化 MonUnit 类型类的实例。这意味着 Munit 本质上是一个记录（只有一个字段 -- mon_unit），但我想你想要关于类型 M 的单位元素的声明，因为它通常否定一条记录没有多大意义。

我相信原则上有可能让 Coq 解包 Munit 并做正确的事情，但如果我们可以重申引理，为什么还要挣扎：

Lemma mon_unit_is_its_own_negation `{Module R M} :
  mon_unit = - mon_unit.

然后一切就如您所描述的那样：

Proof.
  rewrite <- (right_identity (- mon_unit)).
  now rewrite left_inverse.
Qed.

math-类：证明Munit是它自己的否定

math-classes: Prove that Munit is its own negation

math

typeclass

coq