如何在给定规范的情况下证明 Coq 中函数的唯一性？

Question

给定一个函数的规范，例如 specification_of_sum，我如何在 Coq 中证明只有一个这样的函数存在？

我正在学习数学，我可以手头证明这一点，但我在 Coq 方面的技能有限（证明使用 rewrite 和 apply）。

我找到了下面的代码片段，我已经为此苦苦挣扎了一段时间。

我尝试在证明中展开规范，但使用我的老朋友 rewrite 似乎并不能让我更进一步。

谁能解释一下如何使用简单的语法解决这个问题？

Definition specification_of_sum (sum : (nat -> nat) -> nat -> nat) :=
  forall f : nat -> nat,
    sum f 0 = f 0
    /\
    forall n' : nat,
      sum f (S n') = sum f n' + f (S n').

(* ********** *)

Theorem there_is_only_one_sum :
  forall sum1 sum2 : (nat -> nat) -> nat -> nat,
    specification_of_sum sum1 ->
    specification_of_sum sum2 ->
    forall (f : nat -> nat)
           (n : nat),
      sum1 f n = sum2 f n.
Proof.  
Abort.

Answer 1

您需要在 n 上使用归纳法证明这一点。想一想，您的规范涵盖了 0 和 n.+1 的情况，因此很自然地使用归纳法。

您基本上可以在自己选择的 Coq 书籍中阅读有关归纳的内容。

关于如何使用您的规范的示例是：

intros sum1 sum2 s1_spec s2_spec f n.
specialize (s1_spec f) as [s1_spec0 s1_specS].
specialize (s2_spec f) as [s2_spec0 s2_specS].

Answer 2

下面的开始基本上与 ejgallego 已经描述的一样。

intros sum1 sum2 H1 H2 f n. (* introduce all the hypotheses *)                                     
unfold specification_of_sum in *. (* unfold definition in all places *)                            
specialize H1 with (f := f). (* narrow statement to be about f *)                                  
specialize H2 with (f := f). (* narrow statement to be about f *)                                  
inversion_clear H1.  (* split up the AND statements *)                                             
inversion_clear H2.                                                                                
(* induction on n, and do rewrites *)

我已经包含了一些更基本的命令，以使其更慢但更简单。剩下的证明只需要 rewrite 和 reflexivity.

如何在给定规范的情况下证明 Coq 中函数的唯一性？

How to prove uniqueness of a function in Coq given a specification?

functional-programming

coq