汉明立方体顶点上的查询点

Question

我有 N 个点仅位于 D 维立方体的顶点上，其中 D 大约为 3。

顶点不能包含任何点。所以每个点的坐标都在{0, 1}^D。我只对 查询时间 感兴趣，只要内存成本合理（例如 N 不是指数级的 :)）。

给定位于立方体的一个顶点和输入参数 r 上的查询，找到具有 汉明距离 <= 的所有顶点（即点） r 与查询。

在 c++ 环境中的方法是什么？

我正在考虑 kd 树，但我不确定并希望得到帮助，任何输入，即使是近似值，都将不胜感激！由于 汉明距离 开始发挥作用，按位操作应该有所帮助（例如 XOR）。

Answer 1

从一个设置了 k 位的位掩码到 lexicographically next permutation 有一个很好的 bithack，这意味着循环遍历设置了 k 位的所有掩码是相当简单的。将这些掩码与初始值进行异或运算，可以得到与它相差 k 的汉明距离处的所有值。

所以对于 D 维度，其中 D 小于 32（否则更改类型），

uint32_t limit = (1u << D) - 1;
for (int k = 1; k <= r; k++) {
    uint32_t diff = (1u << k) - 1;
    while (diff <= limit) {
        // v is the input vertex
        uint32_t vertex = v ^ diff;
        // use it
        diff = nextBitPermutation(diff);
    }
}

其中 nextBitPermutation 可以在 C++ 中实现为类似于（如果您有 __builtin_ctz）

uint32_t nextBitPermutation(uint32_t v) {
    // see https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#NextBitPermutation
    uint32_t t = v | (v - 1);
    return (t + 1) | (((~t & -~t) - 1) >> (__builtin_ctz(v) + 1));
}

或用于 MSVC（未测试）

uint32_t nextBitPermutation(uint32_t v) {
    // see https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#NextBitPermutation
    uint32_t t = v | (v - 1);
    unsigned long tzc;
    _BitScanForward(&tzc, v); // v != 0 so the return value doesn't matter
    return (t + 1) | (((~t & -~t) - 1) >> (tzc + 1));
}

如果 D 真的低，4 或更低，旧的 popcnt-with-pshufb 效果很好，通常一切都很好，像这样：

uint16_t query(int vertex, int r, int8_t* validmask)
{
    // validmask should be array of 16 int8_t's,
    // 0 for a vertex that doesn't exist, -1 if it does
    __m128i valid = _mm_loadu_si128((__m128i*)validmask);
    __m128i t0 = _mm_set1_epi8(vertex);
    __m128i r0 = _mm_set1_epi8(r + 1);
    __m128i all =        _mm_setr_epi8(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15);
    __m128i popcnt_lut = _mm_setr_epi8(0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2,  2,  3,  2,  3,  3,  4);
    __m128i dist = _mm_shuffle_epi8(popcnt_lut, _mm_xor_si128(t0, all));
    __m128i close_enough = _mm_cmpgt_epi8(r0, dist);
    __m128i result = _mm_and_si128(close_enough, valid);
    return _mm_movemask_epi8(result);
}

这应该相当快；与上面的 bithack 相比速度更快（nextBitPermutation，它相当重，在那里使用了很多）并且还与遍历所有顶点并测试它们是否在范围内相比（即使使用内置 popcnt，即自动至少需要 16 个周期，而以上不应该，假设所有内容都被缓存甚至永久保存在寄存器中）。缺点是结果很烦人，因为它是一个掩码，表示哪些顶点既存在又在查询点的范围内，而不是它们的列表。不过，它可以很好地结合对与点相关的数据进行一些处理。

当然这也缩小到D=3，只要让none的点>=8有效即可。 D>4 可以类似地完成，但它需要更多的代码，并且由于这实际上是一个蛮力解决方案，它只是由于并行性而很快，它从根本上说在 D 中呈指数级变慢。

汉明立方体顶点上的查询点

Query points on the vertices of a Hamming cube

c++

algorithm

data-structures

computational-geometry

hamming-distance