IEEE 754 浮点表示是否在浪费内存？
Is IEEE 754 floating point representation wasting memory?
我一直以为一个double类型的变量可以存储2^64个不同的小数值。 （每个位可以有 1 或 0 作为值，因此有 2^64 个不同的值）。
最近我才知道NaN（不是数字）有一个表示，其中指数部分是11111111111，尾数部分是任何非零值。
相反，如果指数部分是 11111111111 并且有效数字部分是 111111 ……（52 次），那么表示形式是 NaN 吗？
这难道不能让我们表示 2^52 个不同的数字吗？ 2^52 是一个巨大的数字。那我们不是在浪费宝贵的space吗？
IEEE-754 浮点格式在设计时考虑到了高效的硬件实现。所有特殊输入操作数都可以通过仅检查指数字段来检测，指数字段是 all-0（零和非正规数）或 all-1（无穷大和 NaN）。因此，对于双精度，只需要一个 11 位比较器，并且可以在处理器周期的一小部分内执行检查。
为无穷大和 NaN 保留 2048 种可能的指数编码之一并不是特别浪费。请注意，IEEE-754 使用两种不同类型的 NaN：信号 NaN 或 SNaN，在遇到时触发异常，而完全 NaN 或 QNaN 则通过计算简单地传播，直到它们出现在人类可消费的最终结果中。尾数字段的最高有效位区分两种 NaN：对于 SNaN 清零，对于 QNaN 置位。
此外，IEEE-754 支持但不要求NaN 的概念"payload"，即具有系统或用户定义含义的多个 NaN 编码。例如，"PowerPC Numerics" (Apple 1994) 为 Macintosh 系统指定 NaN 的小数字段的第 8 到第 15 个最高有效位包含一个 NaN 代码，它指示 NaN 的不同来源，例如sqrt() 的非零负数，log() 的负数，反三角函数的无效参数，例如 asin()。如 "Apple Numerics Manual, Second Edition"（Apple 1988）中所述，Apple II 引入的 SANE（标准 Apple 数值环境）已经使用了这个概念。
C 和 C++ 标准通过 math.h / cmath 提供标准函数 nan()，可用于以实现定义的方式从字符串参数构造 NaN 有效负载。有关简要说明，请参见 here.
示例
换句话说，它可能在存储上浪费了 0.048%，但在更简单的芯片设计和电源效率上节省了十倍。我觉得很划算。
这在实践中意味着最大的可表示数是 ~
179769313486231570000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
359538626972463140000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
所以这些“浪费”的值无论如何都不会那么有用。
我一直以为一个double类型的变量可以存储2^64个不同的小数值。 （每个位可以有 1 或 0 作为值，因此有 2^64 个不同的值）。
最近我才知道NaN（不是数字）有一个表示，其中指数部分是11111111111，尾数部分是任何非零值。 相反，如果指数部分是 11111111111 并且有效数字部分是 111111 ……（52 次），那么表示形式是 NaN 吗？
这难道不能让我们表示 2^52 个不同的数字吗？ 2^52 是一个巨大的数字。那我们不是在浪费宝贵的space吗？
IEEE-754 浮点格式在设计时考虑到了高效的硬件实现。所有特殊输入操作数都可以通过仅检查指数字段来检测，指数字段是 all-0（零和非正规数）或 all-1（无穷大和 NaN）。因此，对于双精度，只需要一个 11 位比较器，并且可以在处理器周期的一小部分内执行检查。
为无穷大和 NaN 保留 2048 种可能的指数编码之一并不是特别浪费。请注意，IEEE-754 使用两种不同类型的 NaN：信号 NaN 或 SNaN，在遇到时触发异常，而完全 NaN 或 QNaN 则通过计算简单地传播，直到它们出现在人类可消费的最终结果中。尾数字段的最高有效位区分两种 NaN：对于 SNaN 清零，对于 QNaN 置位。
此外，IEEE-754 支持但不要求NaN 的概念"payload"，即具有系统或用户定义含义的多个 NaN 编码。例如，"PowerPC Numerics" (Apple 1994) 为 Macintosh 系统指定 NaN 的小数字段的第 8 到第 15 个最高有效位包含一个 NaN 代码，它指示 NaN 的不同来源，例如sqrt() 的非零负数，log() 的负数，反三角函数的无效参数，例如 asin()。如 "Apple Numerics Manual, Second Edition"（Apple 1988）中所述，Apple II 引入的 SANE（标准 Apple 数值环境）已经使用了这个概念。
C 和 C++ 标准通过 math.h / cmath 提供标准函数 nan()，可用于以实现定义的方式从字符串参数构造 NaN 有效负载。有关简要说明，请参见 here.
换句话说，它可能在存储上浪费了 0.048%，但在更简单的芯片设计和电源效率上节省了十倍。我觉得很划算。
这在实践中意味着最大的可表示数是 ~
179769313486231570000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
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所以这些“浪费”的值无论如何都不会那么有用。