理解和推导雅可比行列式比例因子
Understanding & Deriving Jacobian Determinant Scaling Factor
我一直在努力理解雅可比行列式。
希望有人能指点一下。
我在网上找到的大多数material都没有提供
雅可比行列式的推导。
一个这样的网站是：
http://tutorial.math.lamar.edu
（我觉得还不错，否则。）
我花了很多时间试图加深对
雅可比行列式。
我玩过定义 uv 轴和
Region/area 上的函数集成如何工作
与转换。
例如，当我开始使用以下的简单转换时：
u = ( x - y )/√2
v = ( x + y )/2√2
这是从笛卡尔 xy 轴旋转 -45° 的 uv 轴，
并且 v 轴为 2 倍比例，
也就是说，v = 1 映射到 xy 坐标中的 2 个单位长度。
所以，我说 uscale = 1，vscale = 2，
对于上述转换。
有了这个 uv 轴，我可以简化一个 10x20 的矩形区域
从 x 轴旋转 45°，
这样较长的尺寸点与 x 轴成 45°。
有了这样的例子，我开始培养直觉
雅可比行列式的工作原理。
我理解雅可比行列式是一个比例因子
将 uv 轴的面积测量值转换为 xy 尺寸。
紫外线轴的面积测量值由公式简单给出
Δu x Δv，其中 Δu = 10，Δv = 10，因为 vscale = 2).
雅可比行列式比例因子 = uscale x vscale
（非常直观）。
xy 维度的面积 = Δu x Δv x (uscale x vscale)
= 10 x 10 x 1 x 2 = 200.
在这样一个更简单的 uv 广场上整合体积，
可能比在同一个 xy 区域上更容易，
出现在一个角度。
有了以上的初步认识，
我正在尝试弄清楚雅可比行列式是如何导出的。
从上述转换公式得出：
dx/du = √2 / 2
dx/dv = √2
dy/du = -√2 / 2
dy/dv = √2
我还可以从几何中得出：
dx/du = uscale cos Θ
dy/du = uscale sin Θ
dx/dv = vscale cos (90° - Θ)
dy/dv = vscale sin (90° - Θ)
我可以得到：
areaInXY / areaInUV = uscale x vscale
符合我的理解。
然而，雅可比行列式公式为：
∂(x, y) / ∂(u, v) = ∂x/∂u ∂y/∂v - ∂x/∂v ∂y/∂u
= uscale * vscale * cos 2Θ
这让我很困惑为什么我有额外的 cos 2Θ 因子
这不符合直觉——为什么
area Scaling Factor 取决于矩形的旋转方式
以及 uv 轴是如何旋转的？!
谁能看出我上面的推理哪里错了？
让我试着解释一下雅可比行列式的基本作用。对于从 R^n 到 R^n 的平滑函数映射，这通常是正确的，但为了简单起见，假设我们正在处理 R^2。让 F(x,y) 成为平滑的 R^2 到 R^2 函数。那么我们可以说 F(x,y) 在点 (x,y) 将 x 坐标发送到 f1(x,y) 并将 y 坐标发送到 f2(x,y)。然后考虑一个无限小的矩形区域，由点 (x,y)、(x+dx,y)、(x,y+dy) 和 (x+dx,y+dy) 定义。现在，这个无穷小矩形的面积是 dxdy。当这个矩形经过 F(x,y) 变换时会发生什么？我们将 F(x,y) 应用于四个坐标中的每一个，并获得以下点：
A:(x,y)->(f1(x,y),f2(x,y))
B:(x+dx,y) -> (f1(x+dx,y),f2(x+dx,y)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx)
C:(x,y+dy) -> (f1(x,y+dy),f2(x,y+dy)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂y)dy)
D:(x+dx,y+dy) -> (f1(x+dx,y+dy),f2(x+dx,y+dy)) (approx.)=(f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx + (∂f2/∂y)dy)
等式近似相等并且恰好在dx和dy趋于0的极限内成立，它们是函数F在新点处的最佳线性逼近。 （我们从函数 f1 和 f2 的泰勒近似的一阶部分获得这些）。
如果我们查看变换 F(x,y) 下的新（近似）区域，我们会看到变换点 a 之间的新距离向量：
B-A:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
C-A:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
D-C:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
D-B:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
可以看到，新变换的无穷小区域是一个平行四边形。让：
u=((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
v=((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
这些向量构成了我们平行四边形的边。可以借助u和v的叉积得出平行四边形的面积为：
area^2 = (u1v2 - u2v1)^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y)dxdy - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)dxdy)^2
area^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y))^2 (dxdy)^2
area = |(∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)|dxdy (dx and dy are positive)
area = |det([∂f1/∂x, ∂f1/∂y],[∂f2/∂x, ∂f2/∂y])|dxdy
所以，我们要取其行列式的矩阵就是雅可比矩阵。就像我一开始说的，这个推导可以扩展到 n 的任意维度，给定坐标变换函数 F 是光滑的，因此雅可比矩阵是可逆的，具有非零行列式。
对此有一个很好的视觉解释：http://mathinsight.org/double_integral_change_variables_introduction
我一直在努力理解雅可比行列式。 希望有人能指点一下。
我在网上找到的大多数material都没有提供 雅可比行列式的推导。
一个这样的网站是： http://tutorial.math.lamar.edu （我觉得还不错，否则。）
我花了很多时间试图加深对 雅可比行列式。
我玩过定义 uv 轴和 Region/area 上的函数集成如何工作 与转换。
例如，当我开始使用以下的简单转换时：
u = ( x - y )/√2
v = ( x + y )/2√2
这是从笛卡尔 xy 轴旋转 -45° 的 uv 轴， 并且 v 轴为 2 倍比例， 也就是说，v = 1 映射到 xy 坐标中的 2 个单位长度。
所以，我说 uscale = 1，vscale = 2， 对于上述转换。
有了这个 uv 轴，我可以简化一个 10x20 的矩形区域 从 x 轴旋转 45°， 这样较长的尺寸点与 x 轴成 45°。
有了这样的例子，我开始培养直觉 雅可比行列式的工作原理。
我理解雅可比行列式是一个比例因子 将 uv 轴的面积测量值转换为 xy 尺寸。
紫外线轴的面积测量值由公式简单给出 Δu x Δv，其中 Δu = 10，Δv = 10，因为 vscale = 2).
雅可比行列式比例因子 = uscale x vscale （非常直观）。
xy 维度的面积 = Δu x Δv x (uscale x vscale) = 10 x 10 x 1 x 2 = 200.
在这样一个更简单的 uv 广场上整合体积， 可能比在同一个 xy 区域上更容易， 出现在一个角度。
有了以上的初步认识， 我正在尝试弄清楚雅可比行列式是如何导出的。
从上述转换公式得出：
dx/du = √2 / 2
dx/dv = √2
dy/du = -√2 / 2
dy/dv = √2
我还可以从几何中得出：
dx/du = uscale cos Θ
dy/du = uscale sin Θ
dx/dv = vscale cos (90° - Θ)
dy/dv = vscale sin (90° - Θ)
我可以得到：
areaInXY / areaInUV = uscale x vscale
符合我的理解。
然而，雅可比行列式公式为：
∂(x, y) / ∂(u, v) = ∂x/∂u ∂y/∂v - ∂x/∂v ∂y/∂u
= uscale * vscale * cos 2Θ
这让我很困惑为什么我有额外的 cos 2Θ 因子 这不符合直觉——为什么 area Scaling Factor 取决于矩形的旋转方式 以及 uv 轴是如何旋转的？!
谁能看出我上面的推理哪里错了？
让我试着解释一下雅可比行列式的基本作用。对于从 R^n 到 R^n 的平滑函数映射，这通常是正确的，但为了简单起见，假设我们正在处理 R^2。让 F(x,y) 成为平滑的 R^2 到 R^2 函数。那么我们可以说 F(x,y) 在点 (x,y) 将 x 坐标发送到 f1(x,y) 并将 y 坐标发送到 f2(x,y)。然后考虑一个无限小的矩形区域，由点 (x,y)、(x+dx,y)、(x,y+dy) 和 (x+dx,y+dy) 定义。现在，这个无穷小矩形的面积是 dxdy。当这个矩形经过 F(x,y) 变换时会发生什么？我们将 F(x,y) 应用于四个坐标中的每一个，并获得以下点：
A:(x,y)->(f1(x,y),f2(x,y))
B:(x+dx,y) -> (f1(x+dx,y),f2(x+dx,y)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx)
C:(x,y+dy) -> (f1(x,y+dy),f2(x,y+dy)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂y)dy)
D:(x+dx,y+dy) -> (f1(x+dx,y+dy),f2(x+dx,y+dy)) (approx.)=(f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx + (∂f2/∂y)dy)
等式近似相等并且恰好在dx和dy趋于0的极限内成立，它们是函数F在新点处的最佳线性逼近。 （我们从函数 f1 和 f2 的泰勒近似的一阶部分获得这些）。
如果我们查看变换 F(x,y) 下的新（近似）区域，我们会看到变换点 a 之间的新距离向量：
B-A:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
C-A:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
D-C:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
D-B:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
可以看到，新变换的无穷小区域是一个平行四边形。让：
u=((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
v=((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
这些向量构成了我们平行四边形的边。可以借助u和v的叉积得出平行四边形的面积为：
area^2 = (u1v2 - u2v1)^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y)dxdy - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)dxdy)^2
area^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y))^2 (dxdy)^2
area = |(∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)|dxdy (dx and dy are positive)
area = |det([∂f1/∂x, ∂f1/∂y],[∂f2/∂x, ∂f2/∂y])|dxdy
所以，我们要取其行列式的矩阵就是雅可比矩阵。就像我一开始说的，这个推导可以扩展到 n 的任意维度，给定坐标变换函数 F 是光滑的，因此雅可比矩阵是可逆的，具有非零行列式。
对此有一个很好的视觉解释：http://mathinsight.org/double_integral_change_variables_introduction