Monte Carlo 使用给定提案函数的重要性采样进行集成

Question

给定拉普拉斯分布方案：

g(x) = 1/2*e^(-|x|)

和样本大小 n = 1000，我想进行 Monte Carlo (MC) 积分以估计 θ：

通过重要性抽样。最后我想在 R 中计算这个 MC 估计值的均值和标准差。

编辑（在下面的答案之后迟到了）

到目前为止，这是我的 R 代码：

library(VGAM)
n = 1000
x = rexp(n,0.5)
hx = mean(2*exp(-sqrt(x))*(sin(x))^2)
gx = rlaplace(n, location = 0, scale = 1)

Answer 1

现在我们可以编写一个简单的 R 函数来从拉普拉斯分布中采样：

## `n` is sample size
rlaplace <- function (n) {
  u <- runif(n, 0, 1)
  ifelse(u < 0.5, log(2 * u), -log(2* (1 - u)))
  }

也写一个拉普拉斯分布的密度函数：

g <- function (x) ifelse(x < 0, 0.5 * exp(x), 0.5 * exp(-x))

现在，您的被积函数是：

f <- function (x) {
  ifelse(x > 0, exp(-sqrt(x) - 0.5 * x) * sin(x) ^ 2, 0)
  }

现在我们使用 1000 个样本估计积分（set.seed 用于再现性）：

set.seed(0)
x <- rlaplace(1000)
mean(f(x) / g(x))
# [1] 0.2648853

也与使用积分的数值积分进行比较：

integrate(f, lower = 0, upper = Inf)
# 0.2617744 with absolute error < 1.6e-05

Monte Carlo integration using importance sampling given a proposal function