龙格-库塔四阶法

Question

我正在为双方程组实现 Runge–Kutta 四阶方法。

h 是段数，所以 T/h 是步长。

def cauchy(f1, f2, x10, x20, T, h):
    x1 = [x10]
    x2 = [x20]

    for i in range(1, h):
        k11 = f1((i-1)*T/h, x1[-1], x2[-1])
        k12 = f2((i-1)*T/h, x1[-1], x2[-1])
        k21 = f1((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k11, x2[-1] + T/h/2*k12)
        k22 = f2((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k11, x2[-1] + T/h/2*k12)
        k31 = f1((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k21, x2[-1] + T/h/2*k22)
        k32 = f2((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k21, x2[-1] + T/h/2*k22)
        k41 = f1((i-1)*T/h + T/h, x1[-1] + T/h*k31, x2[-1] + T/h*k32)
        k42 = f2((i-1)*T/h + T/h, x1[-1] + T/h*k31, x2[-1] + T/h*k32)

        x1.append(x1[-1] + T/h/6*(k11 + 2*k21 + 2*k31 + k41))
        x2.append(x2[-1] + T/h/6*(k12 + 2*k22 + 2*k32 + k42))

    return x1, x2

那我在这个系统上测试一下：

def f1(t, x1, x2):
    return x2

def f2(t, x1, x2):
    return -x1

def true_x1(t):
    return np.cos(t) + np.sin(t)

def true_x2(t):
    return np.cos(t) - np.sin(t)

它似乎工作正常（我还用不同的初始值和不同的功能测试了它：一切正常）：

x10 = 1
x20 = 1
T = 1
h = 10

x1, x2 = cauchy(f1, f2, x10, x20, T, h)
t = np.linspace(0, T, h)

plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x1')
plt.plot(t, true_x1(t), "blue", label="true_x1")
plt.plot(t, x1, "red", label="approximation_x1")
plt.legend(bbox_to_anchor=(0.97, 0.27))
plt.show()

plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x2')
plt.plot(t, true_x2(t), "blue", label="true_x2")
plt.plot(t, x2, "red", label="approximation_x2")
plt.legend(bbox_to_anchor=(0.97, 0.97))
plt.show()

然后我想检查错误是否在O(step^4)的数量级上，所以我减少了步骤并计算了这样的错误：

step = []
x1_error = []
x2_error = []
for segm in reversed(range(10, 1000)):
    x1, x2 = cauchy(f1, f2, x10, x20, T, segm)
    t = np.linspace(0, T, segm)
    step.append(1/segm)
    x1_error.append(np.linalg.norm(x1 - true_x1(t), np.inf))
    x2_error.append(np.linalg.norm(x2 - true_x2(t), np.inf))

我明白了：

plt.plot(step, x1_error, label="x1_error")
plt.plot(step, x2_error, label="x2_error")
plt.legend()

所以，误差是线性的。这真的很奇怪，因为它应该是 O(step^4) 的顺序。谁能告诉我我做错了什么？

Answer 1

for i in range(1, h):

这将从 1 迭代到 h-1。由于缺少最后一步，时间 T-T/h 时的 x[h-1] 与时间 T 时的精确解的差异是 O(T/h).

因此使用

for i in range(1,h+1):

从 i-1 到 i 或

的 h 步

for i in range(h):

从 i 到 i+1 的 h 步。

此外，np.linspace(0,1,4) 将生成 4 个等距数字，其中第一个是 0，最后一个是 1，结果是

array([ 0.        ,  0.33333333,  0.66666667,  1.        ])

这可能不是您所期望的。因此通过上述更正使用

t = np.linspace(0, T, segm+1)

在两次计算中使用相同的时间点。

如果您按照通常的含义使用这些字母，那么遵循您的代码会更容易，其中 h 或 dt 是步长，N 是步长的数量脚步。然后在循环前定义h=T/N或dt=T/N，避免在函数调用中重复使用T/N。

龙格-库塔四阶法

Runge–Kutta fourth-order method

python

numerical-methods

runge-kutta