Sage 中的椭圆点

Question

我想使用 Sage 找到同余子群 Gamma(N)、Gamma_1(N) 等的椭圆点。我知道 MAGMA (EllipticPoints(G)) 中有一个简单的函数，但在 Sage 中找不到类似的东西。有什么建议吗？

Answer 1

Sage 具有函数 Gamma、Gamma0、Gamma1 来定义模群的同余子群。

给定这样一个组，方法nu2和nu3给出了该组的 2 阶和 3 阶椭圆点。

sage: G = Gamma0(13)
sage: G.nu2()
2
sage: G.nu3()
2

方法ncusps、index、genus给出了尖点数，索引，同余组的属。

sage: G.ncusps()
2
sage: G.index()
14
sage: G.genus()
0

您所指的 Magma 文档可能是这样的： https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1554.

在这种情况下，您需要上半平面。这是获取它们的方法。

定义函数elliptic_points如下。

def elliptic_points(G):
    F = FareySymbol(G)
    P = F.pairings()
    if all(n > 0 for n in P):
        return []
    M = F.pairing_matrices()
    ell = []
    for k, n in enumerate(P):
        if n < 0:
            a, b, c, d = list(M[k])
            R.<x> = QQbar[]
            p = c*x^2 + (d-a)*x - b
            for r in p.roots(multiplicities=False):
                if r.imag() > 0:
                    ell.append(r)
    return ell

然后下面的作品：

sage: G = Gamma0(13)
sage: ell = elliptic_points(G)

sage: ell
[0.2692307692307693? + 0.06661733875264913?*I,
 0.3846153846153846? + 0.07692307692307692?*I,
 0.6153846153846154? + 0.07692307692307692?*I,
 0.7307692307692308? + 0.06661733875264913?*I]

sage: for p in ell:
....:    print p.radical_expression()
....:
1/26*I*sqrt(3) + 7/26
1/13*I + 5/13
1/13*I + 8/13
1/26*I*sqrt(3) + 19/26

我在现有的 Sage 代码中找不到这个函数。可能值得添加它。

Sage 中的椭圆点

Elliptic points in Sage

function

sage