如何在 MATLAB 中执行此函数的不定积分？

Question

我需要如图所示进行以下操作。我需要使用 MATLAB 计算不同输入 (x) 的函数 H 的值。

我从 Symbolic Math Toolbox 中给出以下命令

syms y t x;
f1=(1-exp(-y))/y;
f2=-t+3*int(f1,[0,t]);
f3=exp(f2);
H=int(f3,[0,x]);

但是第二个积分的值，即函数 H 中的积分无法计算，我的输出是

的形式

H =

int(exp(3*eulergamma - t - 3*ei(-t) + 3*log(t)), t, 0, x)

如果有小伙伴知道如何评价这个或者对此有什么不同的看法，欢迎和我分享。

Answer 1

使用integral直接求数值解：

由于你想计算 H 的不同值 x，所以你可以求数值解而不是解析解。

代码：

syms y t;
f1=(1-exp(-y))/y;   f2=-t+3*int(f1,[0,t]);  f3=exp(f2);
H=integral(matlabFunction(f3),0,100)   % Result of integration when x=100 

输出：

H =
   37.9044

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使用蒙特卡洛积分求近似解析解：

它可能是一个“Elliptic Integral" and cannot be expressed in terms of elementary functions. However, you can find an approximate analytical solution using "Monte-Carlo Integration”，据此：

其中 f(c) = ¹/_n Σ f(xᵢ)

代码：

syms x y t;

f1=(1-exp(-y))/y;   f2=-t+3*int(f1,[0,t]);  f3=exp(f2);
f3a= matlabFunction(f3);       % Converting to function handle

n = 1000;      
t = x*rand(n,1);               % Generating random numbers within the limits (0,x)
MCint(x) = x * mean(f3a(t));   % Integration
H= double(MCint(100))          % Result of integration when x=100  

输出：

H =
   35.2900

% Output will be different each time you execute it since it is based
% on generation of random numbers

这种方法的缺点：

1. 解不是精确的，而是近似的。
2. n的值越大，结果越好，代码执行速度越慢。

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^{阅读 matlabFunction, integral, Random Numbers Within a Specific Range, mean and double 的文档以进一步理解代码。}