如何使用 Theano 将 "arbitrary" 操作放入滑动 window 中？

Question

我想在矩阵 X 上定义一些函数。例如 mean(pow(X - X0, 2))，其中 X0 是另一个矩阵（X0 是固定的/常量）。为了更具体，我们假设 X 和 X0 都是 10 x 10 矩阵。运算结果为实数。

现在我有一个大矩阵（比方说 500 x 500）。我想将上面定义的操作应用于 "big" 矩阵的所有 10 x 10 子矩阵。换句话说，我想将 10 x 10 window 滑动到 "big" 矩阵上。对于 window 的每个位置，我应该得到一个实数。所以，作为最终结果，我需要得到一个实值矩阵（或二维张量）（它的形状应该是491 x 491）。

我想要的是接近于卷积层但不完全相同的，因为我想使用均方差而不是神经元表示的线性函数。

Answer 1

这只是一个 Numpy 解决方案，希望它足够了。我假设您的函数由对矩阵元素的运算和均值（即缩放和）组成。因此，将 Y 视为

就足够了

Y = np.power(X-X0, 2)

因此我们只需要处理确定 windowed 均值。请注意，对于一维情况，可以确定具有适当矢量的矩阵乘积以计算平均值，例如

h = np.array([0, 1, 1, 0])  # same dimension as y
m1 = np.dot(h, y) / 2 
m2 = (y[1] + y[2]) / 2
print(m1 == m2)  # True

二维情况类似，但有两个矩阵乘法，一个用于行，一个用于列。例如

m_2 = np.dot(np.dot(h, Y), h) / 2**2

要构造一个滑动window，我们需要构建一个移位windows的矩阵，例如

H = [[1, 1, 1, 0, 0, ..., 0],
     [0, 1, 1, 1, 0, ..., 0],
            .
            .
            .
     [0, ..., 0, 0, 1, 1, 1]]

计算所有的总和

S = np.dot(np.dot(H, Y), H.T)

具有 (m, m) window 的 (n, n) 矩阵的完整示例是

import numpy as np

n, m = 500, 10
X0 = np.ones((n, n))
X = np.random.rand(n, n)
Y = np.power(X-X0, 2)

h = np.concatenate((np.ones(m), np.zeros(n-m)))  # window at position 0
H = np.vstack((np.roll(h, k) for k in range(n+1-m)))  # slide the window 
M = np.dot(np.dot(H,Y), H.T) / m**2  # calculate the mean
print(M.shape)  # (491, 491)

构建 H 的另一种但效率可能稍低的方法是

H = np.sum(np.diag(np.ones(n-k), k)[:-m+1, :] for k in range(m))

更新

用这种方法也可以计算均方差。为此，我们将向量恒等式 |x-x0|^2 = (x-x0).T (x-x0) = x.T x - 2 x0.T x + x0.T x0（space 表示标量或矩阵乘法，.T 表示转置向量）推广到矩阵情况：

我们假设 W 是一个包含块 (m.m) 单位矩阵的 (m,n) 矩阵，它能够提取第 (k0,k1)-th (m,m) 子-矩阵 Y = W Z W.T，其中 Z 是包含数据的 (n,n) 矩阵。计算差值

 D = Y - X0 = Y = W Z W.T - X0

很简单，其中 X0 和 D 是一个 (m,m) 矩阵。元素平方和的平方根称为Frobenius norm. Based on those identities，我们可以将平方和写为

s = sum_{i,j} D_{i,j}^2 = trace(D.T D) = trace((W Z W.T - X0).T (H Z H.T - X0))
  = trace(W Z.T W.T W Z W.T) - 2 trace(X0.T W Z W.T) + trace(X0.T X0)
  =: Y0 + Y1 + Y2

Y0 项可以解释为 above.The 方法中的 H Z H.T 项 Y1 可以解释为 Z 上的加权平均值，并且Y2是一个常数，只需要确定一次。因此，一个可能的实现是：

import numpy as np

n, m = 500, 10
x0 = np.ones(m)
Z = np.random.rand(n, n)

Y0 = Z**2
h0 = np.concatenate((np.ones(m), np.zeros(n-m)))
H0 = np.vstack((np.roll(h0, k) for k in range(n+1-m)))
M0 = np.dot(np.dot(H0, Y0), H0.T)

h1 = np.concatenate((-2*x0, np.zeros(n-m)))
H1 = np.vstack((np.roll(h1, k) for k in range(n+1-m)))
M1 = np.dot(np.dot(H1, Z), H0.T)

Y2 = np.dot(x0, x0)
M = (M0 + M1) / m**2 + Y2

如何使用 Theano 将 "arbitrary" 操作放入滑动 window 中？

How to put an "arbitrary" operation into a sliding window using Theano?

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convolution

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