`list_rec` 的第一个输入什么时候不是常量函数？

Question

list_rec 函数的类型为：

list_rec
 : forall (A : Type) (P : list A -> Set),
   P nil ->
   (forall (a : A) (l : list A), P l -> P (a :: l)%list) ->
   forall l : list A, P l

在我提出的所有示例中，P 只是一个忽略输入列表的常量函数，无论如何 returns 都是相同的类型。例如，P 可能是 fun _ : list A => nat 或 fun _ : list A => list B。使 P 的输出依赖于输入的一些用例是什么？为什么 P 的类型是 list A -> Set 而不是 Set？

Answer 1

尝试证明s ++ [] = s。

[提示：将 P 定义为 fun s => s ++ [] = s。]

Answer 2

例如，我们可以使用 list_rec 和非常量 P 函数来实现将列表转换为向量（长度索引列表）的函数。

Require List Vector.
Import List.ListNotations Vector.VectorNotations.
Set Implicit Arguments.

Section VecExample.
Variable A : Set.
Definition P (xs : list A) : Set := Vector.t A (length xs).

Definition list_to_vector : forall xs : list A, Vector.t A (length xs) := 
  list_rec P [] (fun x _ vtail => x :: vtail).
End VecExample.

您可以将其与以下代码中Vector.of_list function, which does exactly the same (t means Vector.t的标准定义进行比较），使用显式递归而不是将其隐藏在递归原则之后：

Fixpoint of_list {A} (l : list A) : t A (length l) :=
match l as l' return t A (length l') with
  |Datatypes.nil => []
  |(h :: tail)%list => (h :: (of_list tail))
end.

一个简单的测试：

Eval compute in list_to_vector [1;2;3].
Eval compute in Vector.of_list [1;2;3].

两个函数调用return相同的结果：

= [1; 2; 3]
     : Vector.t nat (length [1; 2; 3])

`list_rec` 的第一个输入什么时候不是常量函数？

When is the first input to `list_rec` not a constant function?

coq