设计DFA（字母'a'和'b'）：字符串中'a'的个数必须是3的倍数，且字符串中不包含'aba'

Question

问题来了：

这是我第一次想到它时的推理思路：

这个好像很难
为它找到一个正则表达式似乎很棘手，所以我无法按照此路径将正则表达式转换为 DFA
所以我决定解决第一部分问题：接受一个字符串，其'a'的个数是3的倍数。这很简单，你只需要3个状态：1,2,3以1为起始状态，如果有输入'a'则进入下一个，如果是'b'则停留在该状态，起始状态也是结束状态。但在本练习中，这 3 个状态实际上是 3 'big' 个状态。那么问题就变成了设计这些“大国”的内部结构以及它们如何相互作用。

我别无选择，只能靠猜测来得出解决方案。这是我想出的（1、2、3 是完成状态，3 是开始状态，如果收到输入 'a'，7 和 9 都会变为 1）：我也在这个上使用了 DFA 最小化，发现它已经是最小化了。然而，教科书给出了另一种解决方案：

但我不明白它是如何正确的！我只是想不通:(。我什至不知道我的解决方案是否 100% 正确。请帮助我，非常感谢:)

Answer 1

你的回答似乎是正确的。我没有仔细证明，但逻辑是相当清楚的。此外，我写了一个 Python 程序来测试它：

def accepts(transitions,initial,accepting,s):
    state = initial
    for c in s:
        state = transitions[state][c]
    return state in accepting

dfa = {1:{'a':4, 'b':2},
       2:{'a':10, 'b':3},
       3:{'a':4, 'b':3},
       4:{'a':7, 'b':5},
       5:{'a':10, 'b':6},
       6:{'a':7, 'b':6},
       7:{'a':1, 'b':8},
       8:{'a':10, 'b':9},
       9:{'a':1, 'b':9},
       10:{'a':10, 'b':10}}

def dfaTest(s):
    return accepts(dfa,3,{1,2,3},s)

def valid(s):
    return s.count('a') % 3 == 0 and not 'aba' in s

import random

tests = [''.join(random.choice(['a','b']) for j in range(100)) for i in range(1,1001)]

print(all(valid(s) == dfaTest(s) for s in tests))

函数 accepts 的操作在 this answer 中有解释。我定制它以匹配您的图表。为了对其进行压力测试，我生成了 100,000 个长度范围为 1 到 1000 的随机输入，然后将 DFA 的输出与条件的直接验证进行比较。每次我运行这段代码，输出都是令人满意的 True.

测试单个字符串：

>>> dfaTest('ababba')
False
>>> dfaTest('abbabba')
True

设计DFA（字母'a'和'b'）：字符串中'a'的个数必须是3的倍数，且字符串中不包含'aba'

Designing a DFA (alphabet 'a' and 'b') : The number of 'a' in the string must be a multiple of 3, and the string does not contain 'aba'

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