∀ y ∈ R+, ∃ z ∈ R, e^z = y 用伪代码怎么写？

Question

我正在阅读证明，目前正在阅读 Eric Lehman 和 Tom Leighton 撰写的计算机科学数学，他们在示例命题中说明了 "as z ranges over the real numbers, e^z takes on every positive, real value at least once"。我无法完全理解这个命题。

我正试图以程序员的身份来处理这个问题，并想一想如果我要看看它是否属实，它在伪代码中会是什么样子。

pr = [ all real positive numbers ]
r  = [ all real numbers ]

for y in pr:
    for z in r:

        e = pow(y, z)
        if e != y:
            goto outer

        print "this is true";

    outer

这是他们的提议吗？

Answer 1

∀ y ∈ R+, ∃ z ∈ R, e^z = y

是说对于正实数集中的所有y，实数集中存在一个z，使得exp(z) = y.

你不能真的创建一个程序来验证这是真的。最主要是因为你会遇到以下问题之一

浮点数学不精确（必读Is floating point math broken?）
实数是无限的

你可以检查每个浮点数（这会花费很长时间，但理论上仍然可以计算），但你会

可能会想出这样一种情况，即没有 z 这样的 exp(z) = y 因为这样的 z 在浮点数集中并不完全存在，无法给你exp(z) = y
即使浮点数集中的每个 y 都有一个 z，这也不能证明 exp(z) = y 对于 R+ 中的所有 y 和 R 中的 z。

所以总的来说，是的，你是伪代码，在某种程度上代表了这个想法，但在计算机上检查它是不可行的或不合逻辑的，或者真的把它当作一个计算问题来考虑。

编辑：以编程方式思考这个问题的最佳方式是这样

R = [SET OF ALL REALS]
R+ = FILTER (> 0) R
(MAP (exp) R) == R+

N.B. exp 表示 e^n 其中 e^x = SUM [ (x^k)/(k!) | k <- [SET OF ALL NATURALS]] 大约是 2.718^x。

Answer 2

如果您想象可以枚举所有正实数，而且可以在有限时间内完成，那么您的思想实验的伪代码可能看起来更像这样：

pr = [ all real positive numbers ]
r  = [ all real numbers ]

for y in pr:
    for z in r:
        e = exp(z)
        if e == y:
            goto outer

    print "false"
    stop

    outer:

print "true"

与您的伪代码的主要区别是：

（技术）将 pow(y, z) 更改为 exp(z)。这是 z 上的指数函数，或者等价地，数字 e 上升到 z^th 功率
仅当外循环运行完成时命题才为真（算法打印结果）
如果在外循环的任何迭代中，内循环确实运行完成（表明y 因为那次迭代不是任何实数的指数）那么这个命题被证明是错误的。在那种情况下，算法会打印结果并停止。只需要一个这样的实数 y 整个命题就失败了。

当然，描述该命题的一种完全不同的数学方法是，它表示自然对数已定义，并且对所有正实参求值为实数。这是因为自然对数是指数的倒数，所以如果你对 e^z = y 两边取对数，你会得到 z = log(y).

Answer 3

该命题由一个程序证明，该程序将在给定任何 y ∈ R+ 的情况下找到 z ∈ R，因此：

z = log(y);

∀ y ∈ R+, ∃ z ∈ R, e^z = y 用伪代码怎么写？

How would you write ∀ y ∈ R+, ∃ z ∈ R, e^z = y in pseudocode?

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