将矩阵对角线转换为列

Question

我正在寻找以下形式的矩阵运算：B = M*A*N 其中 A 是一些通用方阵，M 和 N 是我想要的矩阵寻找。这样 B 的列就是 A 的对角线。第一列是主对角线，第二列是从主对角线偏移 1 的对角线，依此类推。

例如在 MATLAB 语法中：

A = [1, 2, 3 
     4, 5, 6 
     7, 8, 9]

和

B = [1, 2, 3 
     5, 6, 4 
     9, 7, 8]

编辑：似乎不存在纯线性代数解决方案。所以我会更准确地说明我正在尝试做什么：

对于大小为 1 x m 的向量 v。然后定义C = repmat(v,m,1)。我的矩阵是 A = C-C.';。因此，A 本质上是 v 中值的所有差异，但我只对值之间的某个距离的差异感兴趣。这些是 A 的对角线；但是 m 太大以至于构造这样的 m x m 矩阵会导致内存不足的问题。我正在寻找一种尽可能高效地提取这些对角线的方法（在 MATLAB 中）。

谢谢！

Answer 1

如果您实际上不是在寻找线性代数解决方案，那么我认为使用两次矩阵乘法构造三个与 A 大小相同的额外矩阵在时间和 [=49 方面都非常低效=] 复杂性。鉴于我对线性代数的了解有限，我不确定是否有可能找到矩阵解决方案，但即使找到它也肯定会很混乱。

既然你说你只需要沿着一些对角线的值，我会只使用 diag:

构造那些对角线

A = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];
m = size(A, 1);   % assume A is square
k = 1;            % let's get the k'th diagonal
kdiag = [diag(A, k); diag(A, k-m)];

kdiag =

   2
   6
   7

Diagonal 0 是主对角线，对角线 m-1 （对于 mxm 矩阵）是最后一个。所以如果你想要所有 B 你可以很容易地循环：

B = zeros(size(A));
for k = 0:m-1
   B(:,k+1) = [diag(A, k); diag(A, k-m)];
end

B =

   1   2   3
   5   6   4
   9   7   8

来自评论：

For v some vector of size 1xm. Then B=repmat(v,m,1). My matrix is A=B-B.'; A is essentially all differences of values in v but I'm only interested in the difference up to some distance between values.

假设

m = 4;
v = [1 3 7 11];

如果构建整个矩阵，

B = repmat(v, m, 1);
A = B - B.';

A =
    0    2    6   10
   -2    0    4    8
   -6   -4    0    4
  -10   -8   -4    0

主对角线是零，所以这不是很有趣。下一个对角线，我称之为 k = 1 是

[2 4 4 -10].'

您可以通过移动 v:

的元素来构造此对角线而无需构造 A 甚至 B

k = 1;
diag1 = circshift(v, m-k, 2) - v;

diag1 =

    2    4    4  -10

主对角线由 k = 0 给出，最后一个对角线由 k = m-1 给出。

Answer 2

您可以使用函数 toeplitz to create column indices for the reshuffling, then convert those to a linear index 执行此操作以用于重新排序 A，如下所示：

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9
>> n = size(A, 1);
>> index = repmat((1:n).', 1, n)+n*(toeplitz([1 n:-1:2], 1:n)-1);
>> B = zeros(n);
>> B(index) = A
B =
     1     2     3
     5     6     4
     9     7     8

这将推广到任何大小的方阵 A。

将矩阵对角线转换为列

Turning matrix diagonals to columns

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