集合的充分必要条件
Necessary and Sufficient conditions on sets
我很难解决这个问题 -
陈述并证明集合 A 和 B 的充分必要条件，使得 A×B=B×A（笛卡尔积）。虽然 A=B 就足够了，但没有必要。
我对必要条件的理解是A不保证B，而在充分条件下A确实保证B，但我不确定它如何适用于这道题或者最后一句话是什么意思。我也不确定一般如何处理这种类型的证明。
您的困惑来自于您使用 A 和 B 作为集合和语句。
让我们对集合使用 A and B，对语句使用 S and N。
声明
对必要性和充分性的一个很好的解释是here。这些都是等价的：
- S是N的充分条件
- S 表示 N
- 如果S那么N
- N隐含在S
- S 仅当 N
- N是S的必要条件
"A necessary and sufficient condition" 是一个 "equivalent condition"。参见 Simultaneous necessity and sufficiency。
对于原始问题，要求的是找到一个仅在 A×B=B×A.
时为真的数学陈述
集
至于你原来的问题，你正在查看 commutativity of the cartesian product 的条件。
- 如果
A=B那么A×B=B×A
- 如果
A or B is empty那么A×B=B×A
- 没有其他案例
A×B=B×A
所以 A×B=B×A 当且仅当 ( A=B, A is empty 或 B is empty).
我很难解决这个问题 -
陈述并证明集合 A 和 B 的充分必要条件，使得 A×B=B×A（笛卡尔积）。虽然 A=B 就足够了，但没有必要。
我对必要条件的理解是A不保证B，而在充分条件下A确实保证B，但我不确定它如何适用于这道题或者最后一句话是什么意思。我也不确定一般如何处理这种类型的证明。
您的困惑来自于您使用 A 和 B 作为集合和语句。
让我们对集合使用 A and B，对语句使用 S and N。
声明
对必要性和充分性的一个很好的解释是here。这些都是等价的：
- S是N的充分条件
- S 表示 N
- 如果S那么N
- N隐含在S
- S 仅当 N
- N是S的必要条件
"A necessary and sufficient condition" 是一个 "equivalent condition"。参见 Simultaneous necessity and sufficiency。
对于原始问题，要求的是找到一个仅在 A×B=B×A.
集
至于你原来的问题，你正在查看 commutativity of the cartesian product 的条件。
- 如果
A=B那么A×B=B×A - 如果
A or B is empty那么A×B=B×A - 没有其他案例
A×B=B×A
所以 A×B=B×A 当且仅当 ( A=B, A is empty 或 B is empty).