哪种素数生成算法最快？

Question

我正在研究 Java 中的一种算法，以找到不超过特定数量的所有素数。它应该是对早期方法的改进，如下所示：

public static int[] generatePrimesUpTo(int max)
{
    int[] primes = new int[max];
    primes[0]=2;
    int p = 1;
    for (int i=3;i<max;i+=2)
    {
        if (isPrime(i))
        {
            primes[p]=i;
            p+=1;
        }
    }
    return primes;  
}

public static boolean isPrime(int a)
{
    for (int i=3;i<((int)Math.sqrt(a)+1);i+=2)
    {
        if (a%i==0)
            return false;
    }
    return true;
}

它只检查数字 N 是否可以被一个较小的数字整除，从 2 开始到 sqrt(N) 结束。

现在的新方法是将 N 仅除以算法之前发现的更小的素数。我认为它会大大加快这个过程，因为它需要做的计算要少得多。

public static int[] generatePrimes(int num)
{
    int[] primes = new int[num];
    int p = 3;
    primes[0] = 2;
    primes[1] = 3;
    primes[2] = 5;
    boolean prime;
    for (int i=7;i<num;i+=2)
    {
        prime = true;
        for (int j=0;primes[j+1]<(Math.sqrt(i)+1);j++)
        {
            if (i%primes[j]==0)
            {
                prime = false;
                break;
            }
        }
        if (prime)
        {
            primes[p]=i;
            p++;
        }
    }
    return primes;
}

然而，Nmax = 10^7 时，速度似乎几乎没有差异。对于 Nmax = 10^8，新的快了 20%，但我的计算机在旧的计算过程中更加活跃，我只尝试了一次 10^8。

谁能告诉我为什么这种新方法没有那么快？或者我可以做些什么来进一步改进算法？

提前致谢！

Answer 1

您应该考虑是否有一种方法可以在一个范围内找到所有个素数，这比单独检查每个素数要快得多。例如，您将检查许多数字是否可以被 73 整除。但事实是，您可以更快地确定所有可以被 73 整除的数字（它们是 73、2*73、3*73、4*73 等。 ).

顺便说一句：您在循环的每次迭代中计算 Math.sqrt (j)。将该计算移到循环之外可能会使您的代码更快。

Answer 2

你的第二个算法更快。我不知道为什么你只看到了 20% 的改进。以下是我的测试结果，具有单独的实现：

10^6:
First:  00:00:01.0553813   67240405 steps
Second: 00:00:00.2416291   13927398 steps
Sieve:  00:00:00.0269685    3122044 steps

10^7:
First:  00:00:26.4524301 1741210134 steps
Second: 00:00:04.6647486  286144934 steps
Sieve:  00:00:00.3011046   32850047 steps

10^8:
First:  00:12:00.8986644 46474124250 steps
Second: 00:01:43.1543445  6320928466 steps
Sieve:  00:00:03.6146328   342570200 steps

最后一个算法是 Sieve of Eratosthenes，这是一个更好的算法。我在 C# 中为一个处理器实现了所有这些，前两个基于您的代码并进行了一些小的更改，例如测试 primes[j]*primes[j] <= i。

我使用的埃拉托色尼筛法的实现非常基础，

Boolean[] definitelyComposite = new Boolean[max]; // initialized automatically to false
int p = 0;
for (long i = 2; i < max; i++)
{
    numSteps++;
    if (!definitelyComposite[i])
    {
        primes[p] = i;
        p++;
        for (long j = i * i; j < max; j += i)
        {
            numSteps++;
            definitelyComposite[j] = true;
        }
    }
}

还有待改进。例如，除了 i 为 2 时，我可以在循环中使用 j+= 2*i。

哪种素数生成算法最快？

Which is the quickest of prime generating algorithms?

algorithm

comparison

performance