在频域中应用抛物线滤波器

Question

应用此滤镜会对初始图像产生什么影响：

在频域中？

不用电脑（纸上）如何判断效果？

此滤波器 (H) 已在频域中。

Answer 1

您可以尝试查看不同值的结果。

首先你会注意到，因为滤波器函数中有一个1，滤波器只放大而不唤醒频率。

其次，如果我们看一下其他两项：我们将每个空间频率放大为每个方向上最大频率的函数。 因此，对于小频率，放大将是最小的，因为 (smallFreq/largeFreq) < 1 并且该项的平方只会使该值更小。

频率越大放大越大。 对于 uMax 和 vMax，放大倍数可以是原始值的 3 倍。

如果你想知道在不回到空间域的情况下对原始图像有什么影响，你可以说高频区域（图像中的边缘）将具有非常高的值，而具有低频（具有或多或少恒定值的区域）将保持不变。

总之，您的滤镜看起来像是锐化滤镜。

Answer 2

我假设，u_max 和 v_max 是常量参数，如果不使用计算机，您的意思不仅是通过数值计算效果，而是更喜欢解析解。

Filtering/multiplication in Fourier space 对应于实数 space 与 Fourier transformed filter function 的卷积。为了知道卷积核，即确定效果，需要对给定的滤波器H进行傅立叶反变换H如果存在

Mathematica 求解

InverseFourierTransform[1+(u/umax)^2+(v/vmax)^2,{u,v},{x,y}]

至

2 \[Pi] DiracDelta[x] DiracDelta[y]-(2 \[Pi] DiracDelta[y] (DiracDelta^\[Prime]\[Prime])[x])/umax^2-(2 \[Pi] DiracDelta[x] (DiracDelta^\[Prime]\[Prime])[y])/vmax^2

即到 x 和 y 的 Dirac delta 函数的复杂表达式以及 Dirac delta 函数的二阶导数。

我有点难以想象它的确切形状。一个问题是你的滤波器 H 的积分是无界的，所以我们无论如何都会遇到归一化（或傅立叶变换的存在）问题，但是（使用计算机）将结果可视化，我发现卷积核为零x 或 y 不为零且在 x=y=0 处最大并沿 x 轴和 y 轴急剧下降并且关于 x 轴和 y 轴对称。

因此，总而言之，这是一个非常奇怪的过滤器，可以沿轴平滑一点点。我本以为他的回答也会像 那样锐化，所以有点令人惊讶。