Matlab sin(pi) 及其与机器 epsilon 的关系

Question

我理解为什么sin(pi)不等于0是因为没有足够的位来存储"pi"的所有有效数字，但是那有什么与机器epsilon有关吗？

我在网上看到机器 epsilon 是什么，但是在阅读了一个小时的各种不同措辞的定义后，我感到困惑并且不理解 epsilon 的概念。我最终对自己的愚蠢感到非常沮丧...

下面这个例子是在 MATLAB 文档中给出的，我不明白，谁能给我解释一下这个例子想表达什么？

Find the distance from 10.0 to the next largest double-precision number.
d = eps(10.0)

d =

   1.7764e-15

Answer 1

第一次下单，sin(pi-epsilon)=epsilon+O(epsilon^3)

所以，如果我们有一个 pi 的近似值而不是 pi（误差高达 1/2 最小精度单位），那么我们希望这个误差直接转移到正弦结果。

机器epsilon肯定与我们用pi的近似值产生的误差有关。

Answer 2

机器 epsilon 有几个不同的定义，但 Matlab eps 是相当典型的，它是 1.0 和下一个最大的双精度浮点数之间的差距。

我们实际上可以使这个更通用：对于 2^k ≤ x < 2^{k+1[=52 之间的任何浮点数=]，x和下一个最大的浮点数之间的差距是2^k×eps（即Matlab中的eps(x)）。而且，任何实数与其最近的浮点数近似值之间的差距是这个数的一半。}

因为 2 ≤ π < 4;，这意味着 pi（数值近似值）和 π（精确的无理数）之间的差距以 eps 为界。事实上，它只是一半多一点：

eps ≈ 2.22 × 10^-16

|pi - π|约1.22 × 10^-16

现在使用@aka.nice答案的结果，sin(π) = 0，我们有

罪恶（pi）= | sin(pi) - sin(π) |约|pi - π| < eps

即它也受 eps.

的限制

注意：sin(pi)（数字结果）和 sin(pi)（确切结果）之间也有一些轻微的舍入，但这是顺序 eps²，所以在这种情况下可以忽略。

Matlab sin(pi) and its relation to machine epsilon