一个卷积函数可以写成尾递归形式吗？

Question

我有一个函数想以尾递归形式编写。该函数通过滚动 s 面骰子 n 次来计算获得 k 总和的方法数。我在 this answer 上看到了这个函数的数学解法。具体如下：

我在 R 中的参考递归实现是：

sum_ways <- function(n_times, k_sum, s_side) {
  if (k_sum < n_times || k_sum > n_times * s_side) {
    return(0)
  } else if (n_times == 1) {
    return(1)
  } else {
    sigma_values <- sapply(
      1:s_side, 
      function(j) sum_ways(n_times - 1, k_sum - j, s_side)
    )
    return(sum(sigma_values))
  }
}

我曾尝试按照从 this answer 中学到的方法，以延续传递的方式重写该函数，但没有成功。有没有办法以尾递归形式编写此函数？

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我知道 R 没有针对尾递归进行优化。我的问题不是特定于 R 的，欢迎使用任何其他语言的解决方案。即使它是一种不针对尾递归进行优化的语言。

Answer 1

试试这个（递归，如果我们想要尾递归版本，我们需要考虑线性递归关系）：

f <- function(n, k) {
  if (n == 1) {                 # base case
    return(ifelse(k<=6, 1, 0))
  } else if (k > n*6 | k < n) { # some validation
    return(0)
  } 
  else {
    # recursive calls, f(1,j)=1, 1<=j<=6, otherwise 0  
    return(sum(sapply(1:min(k-n+1, 6), function(j) f(n-1,k-j))))  
  }
}

sapply(1:13, function(k) f(2, k))
# [1] 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0

Answer 2

sapply不是continuation-passing样式，所以你必须替换它。

这是 Python 中延续传递样式的翻译（另一种没有具有适当尾调用的语言）：

def sum_ways_cps(n_times, k_sum, s_side, ctn):
    """Compute the number of ways to get the sum k by rolling an s-sided die
    n times. Then pass the answer to ctn."""

    if k_sum < n_times or k_sum > n_times * s_side:
        return ctn(0)
    elif n_times == 1:
        return ctn(1)
    else:
        f = lambda j, ctn: sum_ways_cps(n_times - 1, k_sum - j, s_side, ctn)
        return sum_cps(1, s_side + 1, 0, f, ctn)

def sum_cps(j, j_max, total_so_far, f, ctn):
    """Compute the sum of f(x) for x=j to j_max.
    Then pass the answer to ctn."""

    if j > j_max:
        return ctn(total_so_far)
    else:
        return f(j, lambda result: sum_cps(j + 1, j_max, total_so_far + result, f, ctn))


sum_ways_cps(2, 7, 6, print)  # 6

一个卷积函数可以写成尾递归形式吗？

Can a convolution function written in tail recursive form?

recursion

functional-programming

tail-recursion

dynamic-programming

continuation-passing