在平面上反射格子上的一个点
Reflect a point on a lattice across a plane
我有一个大小为 lx * ly * lz 的三维格子，在所有三个边上都具有周期性边界条件。
我的平面对称切割是两个水平和垂直平面（斜率 0 和 inf）加上两个垂直于 xy 平面、yz 平面和 xz 平面的对角线切割（斜率 -1 和 +1）。所以我一共有9种平面，都是通过格点而不是在格点之间。
这些切口中的每一个都可以在垂直于它们的平面上的任何地方穿过。例如，垂直于 xy 平面的斜率为 0 的切割可以通过任何 ly 点。垂直于 xy 平面的斜坡 inf 切割可以通过任何 lx 点。垂直于 xy 平面的斜率 +1 切割可以通过任何 lx 相交。垂直于 xy 平面的斜率 -1 切割可以通过任何 ly 相交。
现在在 0 和 (lx * ly * lz)-1 之间的晶格上给定一个站点 i，我想反映它关于 1 和 9 之间的随机切割 c 中的任何一个。什么是最快的算法计算反射格点最好在'C'。
该算法应采用三个输入，即站点 i 、切割类型 c 以及切割通过的交点，在 0 和 lx-1 之间或 0 和 ly-1 之间或 0 和 lz-1 之间，根据剪切和输出反射站点。
将平面写成方程
我宁愿谈论这些平面的法线而不是“斜率”。所以我理解你的问题的方式，你有
xy plane, slope 0 ⇒ normal (0, 1, 0)
xy plane, slope ∞ ⇒ normal (1, 0, 0)
xy plane, slope 1 ⇒ normal (1, -1, 0)
xy plane, slope -1 ⇒ normal (1, 1, 0)
xz plane, slope 0 ⇒ normal (0, 0, 1)
xz plane, slope ∞ ⇒ normal (1, 0, 0)
xz plane, slope 1 ⇒ normal (1, 0, -1)
xz plane, slope -1 ⇒ normal (1, 0, 1)
yz plane, slope 0 ⇒ normal (0, 0, 1)
yz plane, slope ∞ ⇒ normal (0, 1, 0)
yz plane, slope 1 ⇒ normal (0, 1, -1)
yz plane, slope -1 ⇒ normal (0, 1, 1)
所以这9种平面对应法线方向
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1),
(1, -1, 0), (1, 0, -1), (0, 1, -1)
对于这些方向中的每一个，您都可以采用法向量 (a, b, c) 并将其转化为平面方程：
a*x + b*y + c*z = d
但是 d 的值是多少是允许的？对于上面的第一行，平行于其中一个坐标平面的平面，事情很简单：对于 (a, b, c) = (1, 0, 0) 你有 0 ≤ d < lx，其他两个类似。对于对角线平面，您的（在我看来很奇怪）拦截规则成立。如果我没理解错的话，(1, -1, 0) 平面可以穿过 x 轴上的任何一点，再次通向 0 ≤ d < lx。 (1, 1, 0) 平面可以通过 y 轴上的任何一点，所以你有 0 ≤ d < ly。其他对角线，请自己算出d的边界。
在这样的平面上反射
所以现在你有了一个平面的方程，并想在那个平面上反映出来。 The link Woodface provided 本质上是在这里考虑的正确事情，但您可能更喜欢该想法的更简单表述。首先将平面方程重写为
a*x + b*y + c*z - d = 0
如果左侧 不 为零，则给定点 不 位于平面上。在这种情况下，您获得的值与该点与平面的距离成正比。暂时假设 a²+b²+c²=1。在这种情况下，左侧的值确实是距平面的距离。将该数字乘以法向量 (a, b, c) 得到一个从平面指向相关点的向量。将数量乘以 -(a, b, c) 得到一个从点指向平面的向量，乘以 -2*(a, b, c) 得到一个从点指向其镜像的向量。
但是如果 a²+b²+c²≠1 呢？在这种情况下，等式左边的值将是实际距离的 sqrt(a²+b²+c²) 倍。并且您将该距离乘以一个不是单位长度而是长度 sqrt(a²+b²+c²) 的向量，因此您的最终结果向量将太大 a²+b²+c² 。所以你要做的就是按那个因素进行缩放。
总结一下：在平面 a*x + b*y + c*z = d 中反映一个点 (x, y, z) 你计算
(x, y, z) - 2/(a² + b² + c²)*(a*x + b*y + c*z - d)*(a, b, c)
或用C代码编写：
int f = 2/(a*a + b*b + c*c)*(a*x + b*y + c*z - d);
x = x - f*a;
y = y - f*b;
z = y - f*z;
您可以在此处使用 int，因为对于您的法向量，a²+b²+c² 将是 1 或 2，因此 2/(a*a + b*b + c*c) 将始终是整数。
我有一个大小为 lx * ly * lz 的三维格子，在所有三个边上都具有周期性边界条件。 我的平面对称切割是两个水平和垂直平面（斜率 0 和 inf）加上两个垂直于 xy 平面、yz 平面和 xz 平面的对角线切割（斜率 -1 和 +1）。所以我一共有9种平面，都是通过格点而不是在格点之间。
这些切口中的每一个都可以在垂直于它们的平面上的任何地方穿过。例如，垂直于 xy 平面的斜率为 0 的切割可以通过任何 ly 点。垂直于 xy 平面的斜坡 inf 切割可以通过任何 lx 点。垂直于 xy 平面的斜率 +1 切割可以通过任何 lx 相交。垂直于 xy 平面的斜率 -1 切割可以通过任何 ly 相交。
现在在 0 和 (lx * ly * lz)-1 之间的晶格上给定一个站点 i，我想反映它关于 1 和 9 之间的随机切割 c 中的任何一个。什么是最快的算法计算反射格点最好在'C'。
该算法应采用三个输入，即站点 i 、切割类型 c 以及切割通过的交点，在 0 和 lx-1 之间或 0 和 ly-1 之间或 0 和 lz-1 之间，根据剪切和输出反射站点。
将平面写成方程
我宁愿谈论这些平面的法线而不是“斜率”。所以我理解你的问题的方式，你有
xy plane, slope 0 ⇒ normal (0, 1, 0)
xy plane, slope ∞ ⇒ normal (1, 0, 0)
xy plane, slope 1 ⇒ normal (1, -1, 0)
xy plane, slope -1 ⇒ normal (1, 1, 0)
xz plane, slope 0 ⇒ normal (0, 0, 1)
xz plane, slope ∞ ⇒ normal (1, 0, 0)
xz plane, slope 1 ⇒ normal (1, 0, -1)
xz plane, slope -1 ⇒ normal (1, 0, 1)
yz plane, slope 0 ⇒ normal (0, 0, 1)
yz plane, slope ∞ ⇒ normal (0, 1, 0)
yz plane, slope 1 ⇒ normal (0, 1, -1)
yz plane, slope -1 ⇒ normal (0, 1, 1)
所以这9种平面对应法线方向
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1),
(1, -1, 0), (1, 0, -1), (0, 1, -1)
对于这些方向中的每一个，您都可以采用法向量 (a, b, c) 并将其转化为平面方程：
a*x + b*y + c*z = d
但是 d 的值是多少是允许的？对于上面的第一行，平行于其中一个坐标平面的平面，事情很简单：对于 (a, b, c) = (1, 0, 0) 你有 0 ≤ d < lx，其他两个类似。对于对角线平面，您的（在我看来很奇怪）拦截规则成立。如果我没理解错的话，(1, -1, 0) 平面可以穿过 x 轴上的任何一点，再次通向 0 ≤ d < lx。 (1, 1, 0) 平面可以通过 y 轴上的任何一点，所以你有 0 ≤ d < ly。其他对角线，请自己算出d的边界。
在这样的平面上反射
所以现在你有了一个平面的方程，并想在那个平面上反映出来。 The link Woodface provided 本质上是在这里考虑的正确事情，但您可能更喜欢该想法的更简单表述。首先将平面方程重写为
a*x + b*y + c*z - d = 0
如果左侧 不 为零，则给定点 不 位于平面上。在这种情况下，您获得的值与该点与平面的距离成正比。暂时假设 a²+b²+c²=1。在这种情况下，左侧的值确实是距平面的距离。将该数字乘以法向量 (a, b, c) 得到一个从平面指向相关点的向量。将数量乘以 -(a, b, c) 得到一个从点指向平面的向量，乘以 -2*(a, b, c) 得到一个从点指向其镜像的向量。
但是如果 a²+b²+c²≠1 呢？在这种情况下，等式左边的值将是实际距离的 sqrt(a²+b²+c²) 倍。并且您将该距离乘以一个不是单位长度而是长度 sqrt(a²+b²+c²) 的向量，因此您的最终结果向量将太大 a²+b²+c² 。所以你要做的就是按那个因素进行缩放。
总结一下：在平面 a*x + b*y + c*z = d 中反映一个点 (x, y, z) 你计算
(x, y, z) - 2/(a² + b² + c²)*(a*x + b*y + c*z - d)*(a, b, c)
或用C代码编写：
int f = 2/(a*a + b*b + c*c)*(a*x + b*y + c*z - d);
x = x - f*a;
y = y - f*b;
z = y - f*z;
您可以在此处使用 int，因为对于您的法向量，a²+b²+c² 将是 1 或 2，因此 2/(a*a + b*b + c*c) 将始终是整数。