使用scipy在dblquad积分中获得的错误是什么意思？
What is the meaning of error obtained in dblquad integration using scipy?
我想知道不同 Python 集成例程给出的错误的含义，例如dblquad。由于我们不知道确切的
积分值，误差的估计是如何计算的？参考是什么？在我的一些计算中，我发现增加积分极限会使误差达到极高的值。由于这只是一个误差估计，是否值得依赖这样的结果？
简答
is it at all advisable to rely on such a result?
在大多数情况下，是的。但是，如果您认为积分例程表现异常并且您不信任它的输出，请尝试改变方法：例如，将积分区域划分为多个部分，分别对每个部分积分并查看结果是否相加。
说明
在数值积分中，通过使用两种方法计算积分（或使用两种步长的相同方法）并考虑结果之间的差异来估计误差。我们发现 SciPy 的 Deep within Fortran source 的四人组套路
abserr = dabs((resk-resg)*hlgth)
其中resg是10点高斯公式的结果，resk是21点克朗罗德公式的结果。有关这些的数学含义，请参阅维基百科文章 Gauss–Kronrod quadrature formula。 （hlgth是积分的积分长度的一半；这里的长度是由于缩放。）
其实我引用的公式并不是最终的误差估计，是很粗略的第一种方法。两行后我们看到
abserr = resasc*(0.2d+03*abserr/resasc)**1.5d+00)
这正是维基百科文章所说的：
The recommended error estimate is (200*|gauss - kronrod|)1.5
这种对绝对误差的估计 不能保证 限制计算积分与实际积分（后者未知）之间的差异。 "recommended" 估计在实践中往往有效，指数 1.5（该方法的收敛顺序）有一些数学依据，但我们永远不知道它是否真的涵盖了实际误差。
毕竟，该函数仅在其域内的有限多个点上求值。据我们所知，它可能恰好在那些点为 0，而在其他地方，在积分例程没有看到的地方，它可能恰好为 0。
示例
这里是 simple-looking 函数的积分，但计算不正确：
from scipy.integrate import quad
import numpy as np
quad(lambda x: np.exp(-x**2), -1e2, 1e3)
returns(4.176612573788305e-60, 7.896357364711954e-60)。实际积分约为 1.77（圆周率的平方根）。错误估计 8e-60 是完全错误的，值 4e-60 也是如此。原因是这个函数局部化在0附近，积分的区间是[-100, 1000]，要大很多。 quad 算法并没有碰巧在具有相当大值的任何点对函数进行采样，因此它继续认为它在任何地方都几乎为零。
我想知道不同 Python 集成例程给出的错误的含义，例如dblquad。由于我们不知道确切的 积分值，误差的估计是如何计算的？参考是什么？在我的一些计算中，我发现增加积分极限会使误差达到极高的值。由于这只是一个误差估计，是否值得依赖这样的结果？
简答
is it at all advisable to rely on such a result?
在大多数情况下，是的。但是，如果您认为积分例程表现异常并且您不信任它的输出，请尝试改变方法：例如，将积分区域划分为多个部分，分别对每个部分积分并查看结果是否相加。
说明
在数值积分中，通过使用两种方法计算积分（或使用两种步长的相同方法）并考虑结果之间的差异来估计误差。我们发现 SciPy 的 Deep within Fortran source 的四人组套路
abserr = dabs((resk-resg)*hlgth)
其中resg是10点高斯公式的结果，resk是21点克朗罗德公式的结果。有关这些的数学含义，请参阅维基百科文章 Gauss–Kronrod quadrature formula。 （hlgth是积分的积分长度的一半；这里的长度是由于缩放。）
其实我引用的公式并不是最终的误差估计，是很粗略的第一种方法。两行后我们看到
abserr = resasc*(0.2d+03*abserr/resasc)**1.5d+00)
这正是维基百科文章所说的：
The recommended error estimate is (200*|gauss - kronrod|)1.5
这种对绝对误差的估计 不能保证 限制计算积分与实际积分（后者未知）之间的差异。 "recommended" 估计在实践中往往有效，指数 1.5（该方法的收敛顺序）有一些数学依据，但我们永远不知道它是否真的涵盖了实际误差。
毕竟，该函数仅在其域内的有限多个点上求值。据我们所知，它可能恰好在那些点为 0，而在其他地方，在积分例程没有看到的地方，它可能恰好为 0。
示例
这里是 simple-looking 函数的积分，但计算不正确：
from scipy.integrate import quad
import numpy as np
quad(lambda x: np.exp(-x**2), -1e2, 1e3)
returns(4.176612573788305e-60, 7.896357364711954e-60)。实际积分约为 1.77（圆周率的平方根）。错误估计 8e-60 是完全错误的，值 4e-60 也是如此。原因是这个函数局部化在0附近，积分的区间是[-100, 1000]，要大很多。 quad 算法并没有碰巧在具有相当大值的任何点对函数进行采样，因此它继续认为它在任何地方都几乎为零。