比较 Java 中的小双精度值

Question

为什么这个断言在 Java 中失败：

    double eps = 0.00000000000001;
    double ten = 10.0;
    double result = (ten - (ten - eps));
    Assert.assertTrue(result <= eps);

如果我在 eps 中的数字 1 之前删除一个零，则断言通过。我假设这与浮点实现有关，但我不确定具体是如何实现的。

此外，如果我将数字 1 替换为 2（例如 0.00000000000002），断言也会通过。在那种情况下，我什至可以在数字 2 之前添加更多的零，测试仍然会通过。我尝试使用 Double.MIN_VALUE (4.9E-324) 并且断言也通过了。

谁能更详细地解释一下：

为什么断言通过 eps = 1.0E-13 而不是通过 eps = 1.0E-14
为什么断言通过 eps = Double.MIN_VALUE (4.9E-324) 而不是 eps = 1.0E-14

编辑：当我将 eps 增加到 1.0E-8 时，断言也失败了：double eps = 0.00000001;

Answer 1

试试下面的代码：

BigDecimal eps1 = new BigDecimal(eps);
BigDecimal ten1 = new BigDecimal(ten);
BigDecimal result1 = ten1.subtract( ten1.subtract(eps1) );

无论eps如何都应该是稳定的

Answer 2

这是因为表示 double 类型的字节的组织。

如下图所示，它是一个64位结构。位 [b0 .. b51] 是 'concatenated' 并由指数提升，[b52 .. b62].

确定每个位组合在实际值中代表什么的等式是：

根据这个公式，最小值表示为

3ff0 0000 0000 000116   =>  1.0000000000000002

为了更好的解释，请参阅此 wiki 页面 Double-precision floating-point format

Answer 3

在最后一个断言中，您正在比较结果 (1.0658141036401503E-14) 和 eps (1.0E-14)，从数学上看，从断言来看应该是错误的，在这种情况下，结果大于 eps。如果从 eps 中删除一个 0，则 rps 变为 1.0E-13，在这种情况下大于 1.0658141036401503E-14

Answer 4

问题是断言代码是 wrong-ish 在某种意义上它没有考虑第二次减法 ten - (ten - eps).

让我们一步步解释这个。让eps = 0.00000001 (1.0E-8)。在这种情况下，10.0 - eps 是 9.99999999。到目前为止，一切都很好。然而，10.0 - 9.99999999 是 0.00000001000000082740371，它在 0.00000001 的预期结果附近，只是稍微大了一点，因为浮点运算（通常）给出了足够好的近似值。因此，对于某些 eps 值，最终结果非常接近，但略低于实际结果，对于某些值，它再次非常接近，但略高于实际结果。

需要修正代码，以考虑到第二次减法的结果也只是一个近似值。

一种方法是将断言更改为：

Assert.assertTrue(Math.abs(result - eps) <= eps);

为了更好地理解浮点运算，我发现这篇文章写得很好：http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html

这句话总结了浮点运算错误发生的原因：

There are two reasons why a real number might not be exactly representable as a floating-point number. The most common situation is illustrated by the decimal number 0.1. Although it has a finite decimal representation, in binary it has an infinite repeating representation. Thus when β = 2, the number 0.1 lies strictly between two floating-point numbers and is exactly representable by neither of them.

比较 Java 中的小双精度值

Comparing small double values in Java

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