C++中2个64位数字的乘法

Question

我实现了 karatsuba 乘法算法。我想以这种方式改进它，我可以将 2 个 64 位数字相乘，但我不知道该怎么做。我得到一个提示，这两个数字都包含 2 的幂的位数，但它没有给我任何提示。你能给任何其他提示吗？数学提示或算法改进提示。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int getLength(long long value);
long long multiply(long long x, long long y);

int getLength(long long value)
{
    int counter = 0;
    while (value != 0)
    {
        counter++;
        value /= 10;
    }
    return counter;
}

long long multiply(long long x, long long y)
{
    int xLength = getLength(x);
    int yLength = getLength(y);

    // the bigger of the two lengths
    int N = (int)(fmax(xLength, yLength));

    // if the max length is small it's faster to just flat out multiply the two nums
    if (N < 10)
        return x * y;

    //max length divided and rounded up
    N = (N / 2) + (N % 2);

    long long multiplier = pow(10, N);

    long long b = x / multiplier;
    long long a = x - (b * multiplier);
    long long d = y / multiplier;
    long long c = y - (d * N);

    long long z0 = multiply(a, c);
    long long z1 = multiply(a + b, c + d);
    long long z2 = multiply(b, d);


    return z0 + ((z1 - z0 - z2) * multiplier) + (z2 * (long long)(pow(10, 2 * N)));

}

int main()
{
    long long a;
    long long b;
    cin >> a;
    cout << '\n';
    cin >> b;
    cout << '\n' << multiply(a, b) << endl;
    return 0;
}

Answer 1

这里有一个提示：

(A + kB) * (C + kD) = AC + k(BC + AD) + k^2(BD)

如果 k 是您保留数字的基数的幂，这会有所帮助。例如，如果 k 是 1'000'000'000 并且您的数字是以 10 为基数，然后通过简单地移动数字（添加零）来完成乘以 k。

无论如何，请考虑将您的 64 位数字分成两部分，每部分 32 位，然后像上面那样进行数学运算。要计算 AC、BC、AD 和 BD，您需要将一对 32 位数字相乘，计算方法类似。

由于您的位数是 2 的幂，因此您可以继续将数字分成两半，直到达到可管理的数字大小（例如 1 位数）。

顺便说一句，从你的问题中不清楚你是在谈论 64 位还是 64 位十进制数字。如果您要查找的只是 64 位数字的乘法，只需执行以下操作：

// I haven't actually run this code, so...

typedef unsigned long long u64;

u64 high32 (u64 x) {return x >> 32;}
u64 low32  (u64 x) {return x & 0xFFFFFFFF;}

u64 add_with_carry (u64 a, u64 b, u64 * carry)
{
    u64 result = a + b;
    *carry = (result < a ? 1 : 0);
    return result;
}

void mul (u64 a, u64 b, u64 * result_low, u64 * result_high)
{
    u64 a0 = low32(a), a1 = high32(a);
    u64 b0 = low32(b), b1 = high32(b);

    u64 a0b0 = a0 * b0;
    u64 a0b1 = a0 * b1;
    u64 a1b0 = a1 * b0;
    u64 a1b1 = a1 * b1;

    u64 c0 = 0, c1 = 0;
    u64 mid_part = add_with_carry(a0b1, a1b0, &c1);

    *result_low  = add_with_carry(a0b0, (low32(mid_part) << 32, &c0);
    *result_high = high32(mid_part) + a1b1 + (c1 << 32) + c0; // this won't overflow
}

这个实现与上面概述的想法相同。由于在标准C/C++中，乘法的结果中我们最多可以有64位有意义的位，那么我们一次只能将两个32位的数相乘。这就是我们在这里所做的。

最终结果将是 128 位，我们 return 在两个无符号 64 位数字中。我们通过 4 个 32 位乘法和一些加法来进行 64 位乘 64 位乘法。

附带说明一下，这是编写汇编通常比 C 容易得多的少数情况之一。例如，在 x64 汇编中，这实际上是一个 mul 指令，它乘以两个64 位无符号整数和 return 两个 64 位寄存器中的 128 位结果。

即使你没有 64 位到 128 位的乘法指令，仍然用汇编写这个更容易（因为 adc 或类似的指令，例如上面的整个代码只是两个movs、四个 muls、四个 adds 和四个 adcs 在普通 x86 程序集中。）即使你不想用汇编写，你应该检查你的编译器的 "intrinsics". 它可能有一个用于大乘法的（但你会是 platform-dependent.）

Answer 2

要在较低位宽的算术上应用 Karatsuba 或任何其他乘法，您需要将数字分成更小的 "digits"。在做任何其他事情之前，您需要访问这些 "digits" 所以这里是如何做的：

你得到了数字 1234 并想将它分成 10^1 位所以

1234 = 1*1000 + 2*100 + 3*10 + 4

你可以获得这样的数字：

x=1234;
a0=x%10; x/=10; // 4
a1=x%10; x/=10; // 3
a2=x%10; x/=10; // 2
a3=x%10; x/=10; // 1

如果你想要 10^2 个数字，那么：

x=1234;
a0=x%100; x/=100; // 34
a1=x%100; x/=100; // 12

现在的问题是，要做到这一点，您需要对全部数字进行除法，而您没有。如果您将数字作为字符串，那么它很容易完成，但假设您没有。计算机基于二进制计算，因此使用 2 的幂作为 "digits" 的基数是个好主意，因此：

x = 1234 = 0100 1101 0010 bin

现在如果我们想要 2^4=16 个基本数字，那么：

a0=x%16; x/=16; // 0010
a1=x%16; x/=16; // 1101
a2=x%16; x/=16; // 0100

现在如果你意识到除以 2 的幂只是右移，余数可以表示为 AND 那么：

a0=x&15; x>>=4; // 0010
a1=x&15; x>>=4; // 1101
a2=x&15; x>>=4; // 0100

移位可以堆叠到任何位宽数字，所以现在您已经拥有了您需要的一切。但这还不是全部，如果你 select 作为 "digit" 例如 2^8 即 BYTE 那么你可以使用指针来代替，例如：

DWORD x=0x12345678; // 32 bit number
BYTE *db=(BYTE*)(&x); // 8bit pointer that points to x

a0=db[0]; // 0x78
a1=db[1]; // 0x56
a2=db[2]; // 0x34
a3=db[3]; // 0x12

因此您可以直接访问数字或从数字重建 x:

DWORD x; // 32 bit number
BYTE *db=(BYTE*)(&x); // 8bit pointer that points to x
db[0]=0x78;
db[1]=0x56;
db[2]=0x34;
db[3]=0x12;
// here x should be 0x12345678

请注意，顺序取决于平台 MSB 或 LSB 的第一顺序。现在你可以应用乘法了。例如 32*32=64 位在 16 位乘法上完成是这样用天真的 O(n^2) 方法完成的：

x(a0+a1<<16) * y(b0+b1<<16) = a0*b0 + a0*b1<<16 + a1*b0<<16 + a1*b1<<32

其中a0,a1,b0,b1为操作数的位数。请注意，每个 ai*bj 乘法的结果都是 2 位宽，因此您需要将其拆分为数字并存储到由移位寻址的结果数字中。请注意，添加会导致溢出到更高的数字。要处理这个问题，您需要使用至少两倍的算术宽度进行加法（16*16 位乘法 -> 32 位加法）或使用进位标志。遗憾的是，除了在 C++ 中使用汇编之外，您无法访问进位标志。幸运的是它可以被模拟见：

Cant make value propagate through carry

现在您可以构建 Karatsuba 或更高级的乘法以获取更多信息，请参阅：

Fast bignum square computation

C++中2个64位数字的乘法

Multiplication of 2 64-digit numbers in C++

c++

algorithm

math

karatsuba