多项式回归的置信区间

Question

我对 R 和统计有一点疑问。

我用最大似然法拟合了一个模型，它给了我以下系数及其各自的标准误差（以及其他参数估计值）：

    ParamIndex   Estimate     SE        
1         a0  0.2135187 0.02990105  
2         a1  1.1343072 0.26123775  
3         a2 -1.0000000 0.25552696

根据我可以画出的曲线：

 y= 0.2135187 + 1.1343072 * x - 1 * I(x^2)

但是据此，我现在必须计算这条曲线周围的置信区间，但我不清楚如何计算。

显然，我应该使用传播或 error/uncertainty，但我发现的方法需要原始数据，或者不仅仅是多项式公式。

当使用 R 知道估计的 SE 时，是否有任何方法可以计算我的曲线的 CI？

感谢您的帮助。

编辑：

所以，现在，我有协方差 table (v) 通过函数 vcov:

获得

                 a0           a1           a2
    a0  0.000894073 -0.003622614  0.002874075
    a1 -0.003622614  0.068245163 -0.065114661
    a2  0.002874075 -0.065114661  0.065294027

和n = 279.

Answer 1

您现在没有足够的信息。要计算拟合曲线的置信区间，一个完整的variance-covariance矩阵 你的三个系数是必需的，但现在你只有该矩阵的对角线条目。

如果您拟合了正交多项式，则 variance-covariance 矩阵是对角矩阵，具有相同的对角线元素。这当然不是你的情况，因为：

您显示的标准错误彼此不同；
您已明确使用原始多项式表示法：x + I(x ^ 2)

but the methods I found require the raw data

它不是"raw data"用于拟合模型的。它是 "new data" 你想要产生置信带的地方。但是，您确实需要知道用于拟合模型的数据数量，例如 n，因为这是推导剩余自由度所必需的。在你有 3 个系数的情况下，这个自由度是 n - 3.

一旦你有：

完整的 variance-covariance 矩阵，比方说 V;
n，用于模型拟合的数据个数；
点向量 x 给出产生置信带的位置，

您可以先从以下位置获得预测标准误差：

X <- cbind(1, x, x ^ 2)    ## prediction matrix
e <- sqrt( rowSums(X * (X %*% V)) )    ## prediction standard error

您知道如何从拟合多项式公式中获得预测均值，对吗？假设平均值是mu，现在对于95%-CI，使用

## residual degree of freedom: n - 3
mu + e * qt(0.025, n - 3)  ## lower bound
mu - e * qt(0.025, n - 3)  ## upper bound

完整的理论在

更新

根据您提供的协方差矩阵，现在可以生成一些结果和数字。

V <- structure(c(0.000894073, -0.003622614, 0.002874075, -0.003622614, 
0.068245163, -0.065114661, 0.002874075, -0.065114661, 0.065294027
), .Dim = c(3L, 3L), .Dimnames = list(c("a0", "a1", "a2"), c("a0", 
"a1", "a2")))

假设我们要在 x = seq(-5, 5, by = 0.2):

处生成 CI

beta <- c(0.2135187, 1.1343072, -1.0000000)
x <- seq(-5, 5, by = 0.2)
X <- cbind(1, x, x ^ 2)
mu <- X %*% beta
e <- sqrt( rowSums(X * (X %*% V)) )
n <- 279
lo <- mu + e * qt(0.025, n - 3)
up <- mu - e * qt(0.025, n - 3)
matplot(x, cbind(mu, lo, up), type = "l", col = 1, lty = c(1,2,2))

多项式回归的置信区间

Confidence interval of polynomial regression

regression

r

confidence-interval

polynomials