反证法

Question

我正在尝试通过反证法进行证明，但不太了解如何正式将其写下来或在这种情况下如何得出答案。我在做一个条件语句。

我要解决的问题是“给定前提，h ^ ~r 和 (h^n) --> r，表明你可以使用反证法得出 ~n 的结论。

我已经对 h ^ ~r 和 (h^n) --> r 取反了，但我不确定如何使用这两个来证明 ~n

到目前为止我写了：

(i.)~((h^n) --> r)

(ii.)~(h ^ ~r)

因此，~n

我遇到的最困难的部分是，这不是一个我可以想象的否定的真实陈述，关于如何做这些证明之一的逐步回答将非常有用，谢谢！

Answer 1

假设

~(((h ^ ~r) ^ ((h^n) --> r)) --> ~n)

然后，

~(~((h ^ ~r) ^ ((h^n) --> r)) v ~n)
=> ~(~(h ^ ~r) v ~((h^n) --> r)) v ~n)
=> ~((~h v r) v ~(~(h^n) v r)) v ~n)
=> ~((~h v r) v ((h^n) ^ ~r)) v ~n)
=> ~((~h v r) v (h ^ n ^ ~r)) v ~n)
=> ~((((~h v r v h) ^ (~h v r v n) ^ ((~h v r) v ~r)) v ~n)
=> ~(((true) ^ (~h v r v n) ^ (true)) v ~n)
=> ~((~h v r v n) v ~n)
=> ~(~h v r v n v ~n)
=> ~((~h v r) v (n v ~n))
=> ~((~h v r) v (true))
=> ~(true)
=> false //contradiction

因此，

((h ^ ~r) ^ ((h^n) --> r)) --> ~n

Answer 2

让我们定义：

p1 := h ^ ~r,    p2 := (h ^ n) -> r   and   q := ~n

我们想证明 p1 ^ p2 -> q.

通过矛盾假设q=false。然后n=true。有两种情况 r=true 和 r=false.

案例r=true

那么p1不能是true因为~r=false。矛盾。

案例r=false

从 p2 我们推断 (h ^ n) 必须是 false。并且鉴于我们假设 n=true，它必须是 h=false，与 p1.

相矛盾

直接证明

从 p1 我们得到 h=true 和 r=false。现在从 p2 我们推导出 (h ^ n) = false。并且由于 h=true，它必须是 n=false，或 ~n=true。

Answer 3

我认为 OP 可能在询问或 mis-interpretting 反证法的结构，而不是要求对特定示例进行详细证明。

结构是这样的...

我们被告知要假设一组事情 A1, A2, ... An
让我们也假设我们最终希望证明的东西的否定，即 ~C
做一些以任何矛盾结尾的逻辑，我们指的是X & ~X
现在我们思考这意味着什么。由于矛盾永远不可能为真，因此我们的 n+1 假设中至少有一个是错误的。可能是几个或所有假设都是错误的。但是，如果任何 n 假设为真，则其余假设不可能为真。在这个阶段我们无法判断哪一个是问题所在。
在这种情况下，我们被提前告知接受A1, A2, ... An，在此基础上我们可以select假设~C作为被拒绝的假设。
作为最后一步，我们得出结论，如果 A1, A2, ... An 为真，则 C 必须为真。

反证法

Proof by contradiction

logic

proof

negation

(ii.)~(h ^ ~r)