斐波那契计算时间

Question

递归式 Fibonacci 与循环式 Fibonacci 之间是否存在明显的计算时间差异？我使用递归将运行 Fibonacci 保持在 40 个位置，然后直接使用循环。好像计算时间差只有academic.

用C语言编写

递归求解：

    int main(int argc, const char * argv[]) {
    int n, i = 0, c;
    printf("Please enter an integer:\n");
    scanf("%d", &n);
    for ( c = 1 ; c <= n ; c++ )
    {
        printf("%lu ", fibonacci(i));
        i++;
    }
    return 0;
    }

long fibonacci(long n)
{
    if ( n == 0 )
        return 0;
    else if ( n == 1 )
        return 1;
    else
        return ( fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) );
};

For循环解决方案：

int main(int argc, const char * argv[]) {
int n, first = 0, second = 1, next, c;
    printf("Please enter an integer:\n");
    scanf("%d", &n);
    for ( c = 0 ; c < n ; c++ )
    {
        if ( c <= 1 )
            next = c;
        else
        {
            next = first + second;
            first = second;
            second = next;
        }
        printf("%d ",next);
    }
    return 0;
};

Answer 1

For 循环解决方案更快。原因：

没有函数调用（假设函数调用很昂贵）
计算第 n 次使用 n 次加法（循环迭代 n 次），而递归解决方案每次函数调用使用一次加法，总和为 O(1.6ⁿ) 调用，因此 O(1.6ⁿ) 添加。成本来自双重递归调用——当递归函数请求第 n 个元素时，它必须从头开始再次计算第 n-1 个和第 n-2 个元素，它不记得了。

Answer 2

一个for循环不一定更快。在 Java、C 和 Python 等通用语言中，与迭代相比，递归的开销相当大，因为它需要分配新的堆栈帧。

可以在 C/C++ 中消除这种开销，使编译器优化能够执行尾递归，将某些类型的递归（实际上是某些类型的尾调用）转换为跳转而不是函数调用。为了让编译器执行此优化，一个函数在它之前做的最后一件事 returns 是调用另一个函数（在本例中是它自己）是必要的。

斐波那契函数的一个例子可能是这样的：

int fib_tail(int n, int res, int next) 
{
  if (n == 0) {
    return res;
  }
  return fib_tail(n - 1, next, res + next);
}

并且在汇编级别，启用编译器优化，它将作为循环实现，例如在调用之间共享相同的堆栈帧。

我最近写了一篇关于它的 article。

希望对您有所帮助。

Answer 3

与尾递归和迭代版本相比，传统的递归方法非常慢。在下面的迭代版本示例代码中，使用展开循环和 Duff's Device 进入循环。对于 32 位无符号整数，限制为 fib(47)，对于 64 位无符号整数，限制为 fib(93)。

计时是使用 Intel 2600K 3.4ghz、XP X64、64 位模式完成的。 XP 或 XP X64 高性能计数器频率与 cpu 时钟相同，3.4ghz，但操作系统开销（如中断），如果持续时间较小，会影响时序。

fib(40) 的时间：

fibr() # of microseconds    485468.8
fibt() # of microseconds         0.2
fibi() # of microseconds         0.2

94 次循环的计时，n = 0 到 93：

fibt() # of microseconds         7
fibi() # of microseconds         5

示例代码：

typedef unsigned long long UI64;

UI64 fibr(UI64 n)
{
    if(n < 2)
        return n;
    return fibr(n-1) + fibr(n-2);
}

// call with fibt(n, 0, 1)
UI64 fibt(UI64 n, UI64 res, UI64 next)
{
    if (n == 0)
        return res;
    return fibt(n - 1, next, res + next);
}

UI64 fibi(UI64 n)
{
UI64 f0, f1, i;
    if(n < 2)
        return n;
    n -= 2;
    f1 = f0 = 1;
    i = 0;
    switch(n%8){
        do{
            f1 += f0;
          case 7:
            f0 += f1;
          case 6:
            f1 += f0;
          case 5:
            f0 += f1;
          case 4:
            f1 += f0;
          case 3:
            f0 += f1;
          case 2:
            f1 += f0;
          case 1:
            f0 += f1;
          case 0:
            continue;
        }while(n >= (i += 8));
    }
    return f0;
}

fibi() 的替代版本，没有 n<2 检查。 f0 和 f1 代表循环中的变化，旨在以 f0 中的最终和结束，因此 f0 和 f1 代表的初始状态取决于 n 是偶数还是奇数。如果 n 是偶数，则 f0 = fib(0) = 0, f1 = fib(-1) = 1，如果 n 是奇数，则 f1 = fib(0) = 0, f0 = fib(-1) = 1 。（如果你好奇的话，fib(-1) = 1, fib(-2) = -1, fib(-3) = 2, fib(-4) = -3, fib(-5) = 5, fib(-6) = -8, ... ).

解释一下这里的逻辑，对于n偶数情况，fib(-1) = f1 = 1, fib(0) = f0 = 0, 那么fib(1) = (f1 += f0), fib (2) = (f0 += f1), fib(3) = (f1 += f0), fib(4) = (f0 += f1), ...

UI64 fibi(UI64 n)
{
UI64 f0, f1, i;
    f0 = n & 1;         // if n even, f0=0, f1=1
    f1 = 1 - f0;        // else       f1=0, f0=1
    i = 0;
    switch(n%8){
        do{
            f1 += f0;
          case 7:
            f0 += f1;
          case 6:
            f1 += f0;
          case 5:
            f0 += f1;
          case 4:
            f1 += f0;
          case 3:
            f0 += f1;
          case 2:
            f1 += f0;
          case 1:
            f0 += f1;
          case 0:
            continue;
        }while(n >= (i += 8));
    }
    return f0;
}

Answer 4

你是如何测量速度差异的？

Fibonacci 函数的朴素递归实现需要大约 1 亿次函数调用来计算 f (40)。在速度足够快的现代计算机上，您无法用秒表计时。

计算 f (50) 需要大约 100 亿次函数调用，这将是一个明显的延迟。 f (60) 接管了一万亿次函数调用，或大约一个小时。 f (70) 需要大约 200 万亿次函数调用或几天时间。 f (80) 需要大约 20 千万亿次函数调用或大约一年。

我不会将这种差异称为学术差异。

Answer 5

也许下面的方法会花费更少的时间？您可以编写生成斐波那契数列的代码，避免打印零和一的 if-else 语句，并避免在循环外打印它们。您可以通过使用 -1 和 1 初始化 'first' 和 'second' 变量来实现，因此它们之间的总和将为您提供 0，这是该系列的第一个器官，循环将执行剩下的工作。

#include <iostream>

using namespace std;
int main()
{
    int i, num, a = -1, b = 1, temp;
    cout << "enter a number:" << endl;
    cin >> num;
    for ( i = 0 ; i < num + 1 ; i++ ) 
    {
        cout << a + b << " "; 
        temp = a + b; 
        a = b;
        b = temp;
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

斐波那契计算时间

Fibonacci Computation Time

c

loops

for-loop

recursion

fibonacci