浮点数和舍入错误的避免
Floating point and the avoidance of rounding errors
众所周知，浮点数的用户必须注意舍入误差。例如，1.0/3*3 == 1 在几乎所有现代编程语言中的计算结果都是 false。对于非专业人士来说更令人惊讶的是 1.0/10*10 == 1.
但是，浮点系统至少似乎可以更好地处理这些问题。特别是，我在 Apple II 和 Commodore Vic-20 的模拟器中尝试了上述两个测试，并且在每种情况下每个表达式的计算结果都为真。这是违反直觉的：非常原始的系统似乎比更先进的系统运行得更好。
旧的浮点系统是如何在上述测试中得到想要的答案的？假设现代 IEEE 浮点数有充分的理由不这样做，那么它会获得什么回报呢？或者换句话说，是什么问题导致旧的浮点系统被放弃，即使它们能够表示 1/10 和 1/3 而没有最麻烦的舍入错误？
编辑：Simon Byrne 正确指出了我在上面列出的确切测试，确实传递了 IEEE 浮点数。我不知道我犯了什么错误，无法重现。但这里有一个失败了，刚才在 Python 中尝试过：
>>> 0.1+0.1+0.1 == 0.3
False
那个准确的测试在 Apple II 上成功了，那么旧系统是如何得到那个结果的，权衡是什么？
在数学上，不可能找到一个可以精确表示所有分数的数系基数，因为素数有无穷多个。如果要精确存储分数，则必须将分子和分母分别存储，这会使计算更加复杂。
如果将分数存储为单个值，某些操作会引入小错误。如果重复执行，错误会累积并变得明显。
有两种方法可以解决这个问题：
如果您能找到一个公分母，请将所有值按此缩放并使用整数。例如，使用整数美分而不是浮点数美元。
在适当的时候对数字进行四舍五入。很多时候，打印比最大精度小一位或两位数的浮点数就足够了。
不能像整数那样测试浮点数是否相等。有点像数两组人，测试两组人数是否相同，测试两瓶牛奶的量是否相同。
对于 "milk" 测试，您必须说明金额可能有多少差异仍被视为 "equal"。
Apple II 没有浮点硬件，允许浮点计算的是它的 BASIC。我猜他们为相等性测试包含了这样一个错误界限，或者他们使用了以 10 为基数的数字（BCD，请参阅哈罗德的评论）。
我的猜测是，他们可能只是因为您碰巧选择的特定示例而走运。例如，在 IEEE754 binary32 算术中语句为真：
>>> import numpy as np
>>> np.float32(0.1) + np.float32(0.1) + np.float32(0.1) == np.float32(0.3)
True
基于this posting，Apple II 不提供硬件浮点，因此具体细节取决于所提供的软件（听起来好像不同的软件提供不同的实现）。如果他们碰巧使用相同的 24 位有效数字（或给出相似结果的另一个有效数字），那么您会看到相同的答案。
更新：this document 似乎表明 Applesoft Basic 确实使用了 24 位有效数（不是 25 – 24 加上一个隐含的 1 – 正如之前的 link 似乎暗示的那样），这将解释为什么你看到与 binary32 算术相同的结果。
众所周知，浮点数的用户必须注意舍入误差。例如，1.0/3*3 == 1 在几乎所有现代编程语言中的计算结果都是 false。对于非专业人士来说更令人惊讶的是 1.0/10*10 == 1.
但是，浮点系统至少似乎可以更好地处理这些问题。特别是，我在 Apple II 和 Commodore Vic-20 的模拟器中尝试了上述两个测试，并且在每种情况下每个表达式的计算结果都为真。这是违反直觉的：非常原始的系统似乎比更先进的系统运行得更好。
旧的浮点系统是如何在上述测试中得到想要的答案的？假设现代 IEEE 浮点数有充分的理由不这样做，那么它会获得什么回报呢？或者换句话说，是什么问题导致旧的浮点系统被放弃，即使它们能够表示 1/10 和 1/3 而没有最麻烦的舍入错误？
编辑：Simon Byrne 正确指出了我在上面列出的确切测试，确实传递了 IEEE 浮点数。我不知道我犯了什么错误，无法重现。但这里有一个失败了，刚才在 Python 中尝试过：
>>> 0.1+0.1+0.1 == 0.3
False
那个准确的测试在 Apple II 上成功了，那么旧系统是如何得到那个结果的，权衡是什么？
在数学上，不可能找到一个可以精确表示所有分数的数系基数，因为素数有无穷多个。如果要精确存储分数，则必须将分子和分母分别存储，这会使计算更加复杂。
如果将分数存储为单个值，某些操作会引入小错误。如果重复执行，错误会累积并变得明显。
有两种方法可以解决这个问题：
如果您能找到一个公分母，请将所有值按此缩放并使用整数。例如，使用整数美分而不是浮点数美元。
在适当的时候对数字进行四舍五入。很多时候，打印比最大精度小一位或两位数的浮点数就足够了。
不能像整数那样测试浮点数是否相等。有点像数两组人，测试两组人数是否相同，测试两瓶牛奶的量是否相同。
对于 "milk" 测试，您必须说明金额可能有多少差异仍被视为 "equal"。
Apple II 没有浮点硬件，允许浮点计算的是它的 BASIC。我猜他们为相等性测试包含了这样一个错误界限，或者他们使用了以 10 为基数的数字（BCD，请参阅哈罗德的评论）。
我的猜测是，他们可能只是因为您碰巧选择的特定示例而走运。例如，在 IEEE754 binary32 算术中语句为真：
>>> import numpy as np
>>> np.float32(0.1) + np.float32(0.1) + np.float32(0.1) == np.float32(0.3)
True
基于this posting，Apple II 不提供硬件浮点，因此具体细节取决于所提供的软件（听起来好像不同的软件提供不同的实现）。如果他们碰巧使用相同的 24 位有效数字（或给出相似结果的另一个有效数字），那么您会看到相同的答案。
更新：this document 似乎表明 Applesoft Basic 确实使用了 24 位有效数（不是 25 – 24 加上一个隐含的 1 – 正如之前的 link 似乎暗示的那样），这将解释为什么你看到与 binary32 算术相同的结果。