MATLAB 中的高斯-赛德尔法

Question

我正在尝试在 MATLAB 中实现 Gauss-Seidel 方法。但是我的代码中有两个主要错误，我无法修复它们：

我的代码在小矩阵上收敛得很好，但在大矩阵上从不收敛。
代码进行了冗余迭代。如何防止重复迭代？

N=5;
A=rand(N,N);
b=rand(N,1);
x = zeros(N,1);
sum = 0;
xold = x;
tic
for n_iter=1:1000
    for i = 1:N
        for j = 1:N
            if (j ~= i)
                sum = sum + (A(i,j)/A(i,i)) * xold(j);
            else
                continue;
            end
        end
        x(i) = -sum + b(i)/A(i,i);
        sum = 0;
    end
    if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)
        break;
    end
    xold = x;
end
gs_time=toc;
prompt1='Gauss-Seidel Method Time';
prompt2='x Matrix';
disp(prompt2);
disp(x);
disp(prompt1);
disp(gs_time);

Answer 1

%Gauss-seidal method for three equations
clc;
x1=0;
x2=0;
x3=0;
m=input('Enter number of iteration');
for i=1:1:m
    x1(i+1)=(-0.01-0.52*x2(i)-x3(i))/0.3
    x2(i+1)=0.67-1.9*x3(i)-0.5*x1(i+1)
    x3(i+1)=(0.44-0.1*x1(i+1)-0.3*x2(i+1))/0.5
    er1=abs((x1(i+1)-x1(i))/x1(i+1))*100
    er2=abs((x2(i+1)-x2(i))/x2(i+1))*100
    er3=abs((x3(i+1)-x3(i))/x3(i+1))*100

    if er1<=0.01
       er2<=0.01
       er3<=0.01
        break;
    end
end

Answer 2

首先，一般性。 Gauß-Seidel 和 Jacobi 方法 仅适用于 对角占优矩阵 ，不适用于一般随机矩阵。因此，要获得正确的测试示例，您需要实际建设性地确保该条件，例如通过

A = rand(N,N)+N*eye(N)

或类似。

Else the method will diverge towards infinity in some or all components.

现在谈谈您的实施中的一些其他奇怪之处。什么

if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)

是什么意思？请注意，此指令 在循环 之外，其中 i 和 j 是迭代变量，因此索引值可能是 undefined。由于惯性，它们会意外地同时具有值 N，因此该标准至少有一点意义。

你要测试的是向量作为一个整体的差异范数，因此使用sum(abs(x-xold))/N或max(abs(x-xold))。在右侧，您可能希望乘以应用于 x 的相同范数构造，以便测试相对误差，同时考虑问题的规模。

根据给定代码中的说明，您正在实施 Jacobi 迭代，首先计算所有更新，然后推进迭代向量。对于 Gauß-Seidel 变体，您需要就地替换单个组件，以便立即使用新计算的值。

此外，您可以 shorten/simplify 内部循环

xold = x;
for i = 1:N
    sum = b(i);
    for j = 1:N
        if (j ~= i)
            sum = sum - A(i,j) * x(j);
        end
    end
    x(i) = sum/A(i,i);
end
err = norm(x-xold)

使用 matlab 的语言特性甚至更短

xold = x
for i = 1:N
    J = [1:(i-1) (i+1):N];
    x(i) = ( b(i) - A(i,J)*x(J) )/A(i,i);
end   
err = norm(x-xold)

MATLAB 中的高斯-赛德尔法

Gauss-Seidel Method in MATLAB

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