求解 2DOF 振动系统的 Matlab ODE

Question

我目前正在学习 Matlab 的 ODE 函数来解决简单的振动问题。

例如mx''+cx'+kx=F*sin(wt)可以用

求解

function dx = fun(t,x)

m=0.02;     % Mass - kg
k=25.0;     % Stiffness - N/m
c=0.0125;   % System damping - Ns/m
f=10;       % Frequency
F=5;

dx= [x(2); (F*sin(2*pi*f*t)-c*x(2)-k*x(1))/m]

然后调用ode45函数得到位移和速度

[t,x]=ode45(@fun,[0 10],[0.0;0.0])

我的问题是，是否可以将 ODE 函数用于多自由度系统，我在网上搜索时还没有完全理解？例如，如果我们有两个质量，弹簧和阻尼器，我们以质量 1 激励它们，我们得到以下方程式：

m1*x1''+c1*x1'-c2*x2'+(k1+k2)*x1-k2*x2 = f1(t)

m2*x2''-c2*x1'+(c1+c2)*x2'-k2*x1+k2*x2 = 0

在这里，位移 x1 和 x2 相互依赖，我的问题是应该如何在 Matlab 中求解这些 ODE？

Answer 1

不限制ODE45求解的函数的输入是标量。只需传入一个输入矩阵并期望得到一个输出矩阵。例如，这里有一个求解 6 杆机构位置的函数。

function zdot = cp_solve(t,z)
%% Constants
g = -9.81;
L1 = .2;
m0 = 0;
I0 = 0;
m1 = 1;
I1 = (1/3) * m1 * L1^2;

%% Inputs
q = z(1:6);
qdot = z(7:12);

%% Mass Matrix
M = zeros(6,6);
M(1,1) = m0;
M(2,2) = m0;
M(3,3) = I0;
M(4,4) = m1;
M(5,5) = m1;
M(6,6) = I1;

%% Constraint Matrix
Phiq = zeros(5,6);
Phiq(1,1) = 1;
Phiq(2,2) = 1;
Phiq(3,3) = 1;
Phiq(4,1) = 1;
Phiq(4,4) = -1;
Phiq(4,6) = (-L1/2)*sin(q(6));
Phiq(5,2) = 1;
Phiq(5,5) = -1;
Phiq(5,6) = (L1/2)*cos(q(6));

%% Generalized Forces
Q = zeros(6,1);
Q(5) = m1 * g;

%% Right Side Vector
rs = zeros(5,1);
rs(4) = (L1/2) * cos(q(6)) * qdot(6)^2;
rs(5) = (L1/2) * sin(q(6)) * qdot(6)^2;

%% Coefficient Matrix
C = [M Phiq'; Phiq zeros(5,5)];
R = [Q; rs];
%% Solution

Sol = C \ R;

zdot = [qdot; Sol(1:6)];
end

输入是成员的位置和速度。输出是新的位置和速度。

您可以像处理任何 ODE45 问题一样使用它。设置初始条件，定义时间，求解。

%% Constants
L1 = .2;
C1 = L1/2;
theta1 = 30*pi/180;
theta_dot1 = 0;
tspan = 0:.001:2;

%% Initial Conditions
q = zeros(6,1);

q(6) = theta1;
q(4) = C1 * cos(q(6));
q(5) = C1 * sin(q(6));

qdot = zeros(6,1);
qdot(6) = theta_dot1;

z0 = [q; qdot];

%% Solve the problem

options = odeset('RelTol', 1.0e-9, 'AbsTol', 1.0e-6);
[Tout, Zout] = ode45(@cp_solve, tspan, z0, options);

在你的例子中，你有 2 个方程和 2 个未知数。将问题设置为矩阵问题并在您的函数中同时求解。我会为您的案例推荐模态方法。

求解 2DOF 振动系统的 Matlab ODE

Matlab ODE to solve 2DOF vibrational systems

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