如何在 python 中使用 cramer 规则计算逆？

Question

我正在尝试使用 python 中的 numpy 包生成逆矩阵。不幸的是，我没有得到预期的答案。

原始矩阵：

([17 17 5] [21 18 21] [2 2 19])

通过 Cramer 规则反转原始矩阵给出：

([4 9 15] [15 17 6] [24 0 17])

显然使用 numpy.linalg.inv() 得到

-3.19488818e-01,3.80191693e-01,-6.38977636e-03, 3.33333333e-01, -3.33333333e-01, 2.26123699e-18, -2.84345048e-01, 2.68370607e-01, 5.43130990e-02n

我原以为原始矩阵与逆矩阵相乘会得到一个单位矩阵，但如您所见，我给出了一个充满浮点数的矩阵。

哪里有问题？

Answer 1

我想你可能在手动求逆矩阵时犯了一个错误。

当我执行以下操作时

import numpy as np

a = np.array([[17, 17, 5], [21, 18, 21], [2, 2, 19]], dtype=np.float)
inv = np.linalg.inv(a)

print np.dot(inv, a)

我明白了

array([[  1.00000000e+00,   0.00000000e+00,   1.05471187e-15],
       [  1.11022302e-16,   1.00000000e+00,  -7.21644966e-16],
       [  1.38235777e-17,   5.65818009e-18,   1.00000000e+00]])

这很好，请注意所有非对角线元素的机器精度都大约为零，因此看起来 numpy 在这方面做得不错！

请记住，浮点数不像实数那样工作，除非您小心谨慎，否则您可能会在计算中出现小的舍入误差。

如果你想完全做到这一点，请查看 sympy，它将能够使用精确的数学进行计算（代价是速度稍慢）。

import sympy as sp

a = sp.Matrix([[17, 17,5],[21,18,21],[2,2,19]])
inv = a.inv()

print inv
print a * inv

产生精确的倒数

Matrix([
[-100/313,  1/3, -89/313],
[ 119/313, -1/3,  84/313],
[  -2/313,    0,  17/313]])

当与原始矩阵相乘时，给出了您所期望的精确身份

Matrix([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]])

Answer 2

linalg是对的，你是错的。

它给你的矩阵确实是逆矩阵。但是，如果您使用 np.array 而不是 np.matrix，则乘法运算符不会按预期工作，因为它计算的是分量乘积。

在那种情况下你必须做 mat.dot(inv(mat))。

无论如何，由于舍入误差，您将得到的不是完美的单位矩阵（当我尝试它时，非对角矩阵条目的顺序是10 ** (-16)）。

Answer 3

你假设的逆显然是错误的；仅当逆矩阵中的某些条目小于 1 且仅当某些条目为负时才可实现这些值。我没有看到你做错了什么，所以我举个例子。使用 Cramer's rule 你有例如对于第一个条目 (18*19 - 2*21)/(-939) = -0.319... - 正是 numpy 发现的。

如何在 python 中使用 cramer 规则计算逆？

How to calculate inverse using cramer's rule in python?

python

numpy

matrix-inverse