查找算法的平均情况复杂度

Question

我有一个未排序数组的顺序搜索算法：

SequentialSearch(A[0..n-1],K)

i=0
while i < n and A[i] != K do
    i = i+1
if i < n then return i
else return -1

我们有一个输入数组 A[0...n-1] 和一个搜索键 K

我知道最坏的情况是n，因为我们必须搜索整个数组，因此n项O(n)

我知道最好的情况是 1，因为这意味着我们搜索的第一项就是我们想要的，或者数组具有所有相同的项，无论哪种方式都是 O(1)

但我不知道如何计算平均情况。我的教科书给出的答案是：

= (p/n)[1+2+...+i+...+n] + n(1-p)

当我看到像这样的算法时，是否有一个通用公式可以用来计算它？

下图 Textbook example

Answer 1

您需要考虑输入情况，例如输入的等价性类，这取决于算法的上下文。如果这些东西中的 none 是已知的，那么假设输入是一个随机整数数组，平均情况可能是 O(n)。这是因为，粗略地说，您无法在有用的程度上证明您的查询在 ~-32k 到 ~32k 范围内的 N 个整数值数组中的出现频率。

Answer 2

= (p/n)[1+2+...+i+...+n] + n(1-p)

p 这里是在数组中找到搜索键的概率，因为我们有 n 个元素，所以我们有 p/n 作为在特定位置找到键的概率n 内的索引。我们基本上在每次迭代中都进行加权平均，我们在 1 次比较、2 次比较和直到 n 次比较中进行权衡。因为我们必须考虑所有输入，所以第二部分 n(1-p) 告诉我们数组 1-p 中不存在输入的概率。当我们搜索整个数组时需要 n。

Answer 3

更正式地说，设 X 是一个离散随机变量，表示数组 A 中需要扫描的元素数。有 n 个元素，并且由于所有位置对于随机生成的输入的可能性相同，因此 X ~ Uniform(1,n) 其中 X = 1,..,n，假设在数组中找到了搜索键（概率 p），否则需要扫描所有元素，X=n（概率1-p）。

因此，P(X=x)=(1/n).p.I{x<n}+((1/n).p+(1-p)).I{x=n} 对应 x = 1,..,n，其中 I{x=n} 是指示函数并且将具有值 1 iff x=n 否则 0 .

算法的平均时间复杂度是当输入为任意序列时，算法执行的预期时间。根据定义，

下图显示了n和p搜索数组的时间变化情况。

查找算法的平均情况复杂度

Finding the Average case complexity of an Algorithm

arrays

algorithm

complexity-theory

time-complexity

asymptotic-complexity