为什么曲面拟合在对数域中不起作用？

Question

让我们有一个损坏的图像 C、偏差配置文件 B 和真实图像 A。因此，如果我们可以定义一个模型，

C = A * B;

我们可以得到原始图像，

A=C/B;

在日志域中，

log A = log C - log B。

现在让我们说，我有真实的图像 A，我正在引入偏差 B，我得到损坏的图像 C。现在我可以使用多项式回归校正这个有偏差的图像 C。一旦我在对数域中转换损坏的图像 C，我将拟合表面，并且我可以从中减去偏差配置文件，如上所示。减法后，我不需要明显地应用 exp(log C - log B) 。需要 Onlu 归一化才能获得 [0 255] 范围。

算法：

原始图像没有任何偏置场被引入多项式轮廓，这导致图像具有不均匀的照明。
在对数域中转换有偏差的图像，并使用多项式拟合来近似表面
从偏置图像中减去近似表面，从而得到没有偏置场的原始图像。（理想情况下）。
测量近似曲面与步骤1中引入的多项式场之间的RMSE。测量偏置图像与减法后最终得到的图像之间的RMSE。

代码：

clear;clc;close all;

%read the image, on which profile is to be generated
I = ones(300);
I = padarray(I,[20,20],'both','symmetric'); % padding 

%%
%creating a bias profile using polynomial modeling
[x,y] = meshgrid(1:size(I,1),1:size(I,2));
profile = -2.5.*x.^3 - 2.5.* y.^3 + 0.25 .*(x.* y.^2) - 0.3*( x.^2 .* y ) -   0.5.* x .* y - x + y  - 2.5*( x.^2) - y.^2 + 0.5 .* x .*y + 1;

% come to scale [0 1] 
profile = profile - min(profile(:));
profile = profile / max(profile(:));
figure,imshow(profile,[]); %introduced bias profile


%% corrupt the image 
biasedImage = (I .* profile);
figure,imshow(biasedImage,[]); %biased Image


cImage = log(biasedImage+1);% conversion to log domain/ +1 is needed to avoid infinite values in case of 0 intensty values in corrupted image.

%% forming the input for prediction of surface
colorChannel = cImage;
rows = size(colorChannel, 1);
columns = size(colorChannel, 2);
[X,Y] = meshgrid(1:columns, 1:rows);
z = colorChannel;
x1d = reshape(X, numel(X), 1);
y1d = reshape(Y, numel(Y), 1);
z1d = double(reshape(z, numel(z), 1)); %dependent variables
x = [x1d y1d]; % two regressors

%% surface fitting
m = 3; %define the order of polynomial
p = polyfitn(x,z1d,m); %prediction step
zg = polyvaln(p, x);

modeledColorChannel = reshape(zg, [rows columns]); % predicted surface

 %modeledColorChannel = exp(modeledColorChannel)-1; if we use this step then       the step below will be division instead of subtraction
 %f = biasedImage./ modeledColorChannel; Same as the step below but as we are using exponential, it will be devision.

%% correction
f  = cImage- modeledColorChannel; %getting the original image back. 


%grayImage = f(21:end-20,21:end-20);
%modeledColorChannel = modeledColorChannel(21:end-20,21:end-20); %to remove  the padding

figure,imshow(f,[]);
figure,imshow(modeledColorChannel,[]);


%% measure the RMSE for image
y = (I - f);
RMSE = sqrt(mean(y(:).^2));
disp(RMSE);

% RMSE for profile
z = (modeledColorChannel - profile);
RMSE = sqrt(mean(z(:).^2));
disp(RMSE);

结果：

如果是：f = cImage-modeledColorChannel

1.0000

0.2127

更正图像：enter image description here

除法时：f = cImage ./ modeledColorChannel（虽然理论上不正确。）

0.0190

0.2127

更正图像：enter image description here

现在，问题是：如果我在对数域中进行除法而不是像我在这里做的那样进行减法，我最后得到的 RMSE 值较低（参见 %% 更正 部分）。在理论上正确的情况下如何有更高的 RMSE 用于减法？根据我的理解，如果我将所有计算都保留在对数域中，图像除法将变成图像 subtraction.It 如果您运行代码并且在除法和减法校正结束时看到图像 f 则很明显在日志域中。

注意：在这两种情况下，引入和感知轮廓之间的 RMSE 与我在 cases.Either 图像分割或图像减法中的对数域中进行的估计相同。

查看 polyfitn 工具箱。 www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/34765-polyfitn

Answer 1

让我补充一下我的问题的答案，因为我发现了我的错误，以防将来有人遇到同样的问题。

错误 1：减法后，我不需要应用 exp(log C - log B) 很明显。只需要归一化即可获得 [0 255] 范围。

我的直觉是，我不需要应用 exp() 来取回原始值。但实际上我必须应用 exp()。 LHS 和 RHS 上的 Log-log 永远不会相互抵消。

如果 log(A) = log(B)，要返回 A 的值，我需要 A = exp(log(B))。

错误2：在对数域中，我将两个图像相减，这样我就不必在对数域中面临无穷大的问题，我们通常在除法的情况下会遇到。

所以简单地在日志域中转换图像时，我可以这样做，

cImage = log(biasedImage);

而不是，

cImage = log(biasedImage+1);

在这里，添加 +1 会在图像中产生不需要的模糊，因为在预测表面的估计中，它会将表面推到黑暗区域的高值。

为什么曲面拟合在对数域中不起作用？

Why surface fitting is not working in logarithmic domain?

image

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curve-fitting