对数概率 Java 实现的数值精度

Question

有时，当您使用常见数据类型（例如双精度数据）进行概率非常小的计算时，数值不准确会叠加多次计算并导致不正确的结果。因此，建议使用 log probabilities，以提高数值稳定性。我已经在 Java 中实现了对数概率并且我的实现有效，但是它比使用原始双打具有更差的数值稳定性。我的实施有什么问题？在 Java 中以小概率执行许多连续计算的准确有效方法是什么？

我无法提供这个问题的完整演示，因为许多计算都存在不准确之处。但是，这里证明存在问题：this submission to a CodeForces contest fails due to numerical accuracy. Running test #7 and adding debug prints clearly show that from day 1774, numerical errors begin cascading until the sum of probabilities drops to 0 (when it should be 1). After replacing my Prob class with a simple wrapper over doubles the exact same solution passes tests.

我的乘法概率实现：

a * b = Math.log(a) + Math.log(b)

我的加法实现：

a + b = Math.log(a) + Math.log(1 + Math.exp(Math.log(b) - Math.log(a)))

稳定性问题很可能包含在这两行中，但这是我的整个实现：

class Prob {

        /** Math explained: https://en.wikipedia.org/wiki/Log_probability
         *  Quick start:
         *      - Instantiate probabilities, eg. Prob a = new Prob(0.75)
         *      - add(), multiply() return new objects, can perform on nulls & NaNs.
         *      - get() returns probability as a readable double */

        /** Logarithmized probability. Note: 0% represented by logP NaN. */
        private double logP;

        /** Construct instance with real probability. */
        public Prob(double real) {
            if (real > 0) this.logP = Math.log(real);
            else this.logP = Double.NaN;
        }

        /** Construct instance with already logarithmized value. */
        static boolean dontLogAgain = true;
        public Prob(double logP, boolean anyBooleanHereToChooseThisConstructor) {
            this.logP = logP;
        }

        /** Returns real probability as a double. */
        public double get() {
            return Math.exp(logP);
        }

        @Override
        public String toString() {
            return ""+get();
        }

        /***************** STATIC METHODS BELOW ********************/

        /** Note: returns NaN only when a && b are both NaN/null. */
        public static Prob add(Prob a, Prob b) {
            if (nullOrNaN(a) && nullOrNaN(b)) return new Prob(Double.NaN, dontLogAgain);
            if (nullOrNaN(a)) return copy(b);
            if (nullOrNaN(b)) return copy(a);

            double x = a.logP;
            double y = b.logP;
            double sum = x + Math.log(1 + Math.exp(y - x));
            return new Prob(sum, dontLogAgain);
        }

        /** Note: multiplying by null or NaN produces NaN (repping 0% real prob). */
        public static Prob multiply(Prob a, Prob b) {
            if (nullOrNaN(a) || nullOrNaN(b)) return new Prob(Double.NaN, dontLogAgain);
            return new Prob(a.logP + b.logP, dontLogAgain);
        }

        /** Returns true if p is null or NaN. */
        private static boolean nullOrNaN(Prob p) {
            return (p == null || Double.isNaN(p.logP));
        }

        /** Returns a new instance with the same value as original. */
        private static Prob copy(Prob original) {
            return new Prob(original.logP, dontLogAgain);
        }
    }

Answer 1

问题是由在这一行中使用 Math.exp(z) 的方式引起的：

a + b = Math.log(a) + Math.log(1 + Math.exp(Math.log(b) - Math.log(a)))

当z达到极值时，double的数值精度不足以满足Math.exp(z)的输出。这会导致我们丢失信息，产生不准确的结果，然后这些结果在多次计算中级联。

当z >= 710然后Math.exp(z) = Infinity

当z <= -746然后Math.exp(z) = 0

在原始代码中，我用 y - x 调用 Math.exp 并任意选择哪个是 x，哪个是原因。让我们根据哪个更大来选择 y 和 x，这样 z 是负数而不是正数。我们溢出的点更偏向于负数（746 而不是 710），更重要的是，当我们溢出时，我们最终到达 0 而不是无穷大。这就是我们想要的概率很小。

double x = Math.max(a.logP, b.logP);
double y = Math.min(a.logP, b.logP);
double sum = x + Math.log(1 + Math.exp(y - x));

对数概率 Java 实现的数值精度

Numerical accuracy with log probability Java implementation

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probability

numerical-stability