欧拉-拉格朗日方程的符号微分

Question

我正在尝试计算机器人结构的欧拉-拉格朗日方程。我将使用 q 来表示联合变量的向量。

在我的代码中，我使用

syms t;
q1 = sym('q1(t)');
q2 = sym('q2(t)');
q = [q1, q2];

声明q1和q2取决于时间t。在我计算拉格朗日 L 之后（在这种情况下，它是一个带有旋转关节的简单 link）

L = (I1z*diff(q1(t), t)^2)/2 + (L1^2*M1*diff(q1(t), t)^2)/8

问题是，当我尝试使用 diff(L, q) 区分 L 和 q 时，出现此错误

Error using sym/diff (line 69)
The second argument must be a variable or a nonnegative integer specifying the number of differentiations.

如何区分 L 和 q 以获得欧拉-拉格朗日方程的第一项？

我也试着把q写成

syms q1 q2
q = [q1 q2]

没有时间依赖性但微分不起作用，即显然会给我 [0, 0]

这就是我在工作区中得到的（I1z 是 link 相对于 z 轴的惯性，M1 是 link 的质量，L1 是 link 的长度link)

q = [q1(t), q2(t)]
diff(q, t) = [diff(q1(t), t), diff(q2(t), t)]
L = (I1z*diff(q1(t), t)^2)/2 + (L1^2*M1*diff(q1(t), t)^2)/8

如果你想要运行完整的代码，你必须从here下载所有的.m文件，然后使用

[t, q, L, M, I] = initiate();
L = lagrangian(odof(q, L), q, M, I, t, 1)

否则下面的代码应该是一样的

syms t I1z L1 M1
q1 = sym('q1(t)');
q2 = sym('q2(t)');
q = [q1, q2];
qp = diff(q, t);
L = (I1z*qp(1)^2)/2 + (L1^2*M1*qp(1)^2)/8;

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感谢我意识到了这个问题。

示例 1（AVK 的代码）

syms t q1 q2 q1t q2t I1z L1 M1        % variables
L = (I1z*q1t^2)/2 + (L1^2*M1*q1t^2)/8
dLdqt = [diff(L,q1t), diff(L,q2t)]

这将起作用，其结果将是

dLdqt = [(M1*q1t*L1^2)/4 + I1z*q1t, 0]

例2（错误）

syms t q1 q2 q1t q2t I1z L1 M1
L = (I1z*q1t^2)/2 + (L1^2*M1*q1t^2)/8;
qt = [q1t q2t];
dLdqt = diff(L, qt)

这不会工作，因为 diff 需要一个单一微分变量

示例 3（右）

syms t q1 q2 q1t q2t I1z L1 M1
L = (I1z*q1t^2)/2 + (L1^2*M1*q1t^2)/8;
qt = [q1t q2t];
dLdqt = jacobian(L, qt)

这将工作，因为jacobian期望至少一个微分变量

编辑 2

似乎 MATLAB 的 Symbolit 工具箱无法处理关于 q(t) 的微分，所以你必须使用变量 q.

所以将这些用作函数

q = [q1(t), q2(t), q3(t), q4(t), q5(t), q6(t)]
qp = [diff(q1(t), t), diff(q2(t), t), diff(q3(t), t), diff(q4(t), t), diff(q5(t), t), diff(q6(t), t)]

这些作为变量

qv = [q1, q2, q3, q4, q5, q6];
qvp = [q1p, q2p, q3p, q4p, q5p, q6p];

解决了问题。

整个代码如下所示

syms q1 q2 q3 q4 q5 q6;
syms q1p q2p q3p q4p q5p q6p;
qv = [q1, q2, q3, q4, q5, q6];
qvp = [q1p, q2p, q3p, q4p, q5p, q6p];

Lagv = subs(Lag, [q, qp], [qv, qvp]);
dLdq = jacobian(Lagv, qv);
dLdqp = jacobian(Lagv, qvp);

dLdq = subs(dLdq, [qv, qvp], [q, qp]);
dLdqp = subs(dLdqp, [qv, qvp], [q, qp]);

m_eq = diff(dLdqp, t) - dLdq;

Answer 1

如果要对L求微分，q必须是变量。可以用 subs 换成函数计算 $ddt$ 后来：

syms t q1 q2 q1t q2t I1z L1 M1        % variables
L = (I1z*q1t^2)/2 + (L1^2*M1*q1t^2)/8
dLdqt= [diff(L,q1t), diff(L,q2t)]
dLdq = [diff(L,q1), diff(L,q2)]
syms q1_f(t) q2_f(t)  % functions
q1t_f(t)= diff(q1_f,t)
q2t_f(t)= diff(q2_f,t)
    % replace the variables with the functions
dLdq_f= subs(dLdq,{q1 q2 q1t q2t},{q1_f q2_f q1t_f q2t_f})
dLdqt_f= subs(dLdqt,{q1 q2 q1t q2t},{q1_f q2_f q1t_f q2t_f}) 
    % now we can solve the equation
dsolve(diff(dLdqt_f,t)-dLdq_f==0)

Answer 2

我在 MATLAB 中开发了 Euler-Lagrange 库，其中包含一系列说明性示例。您可以使用以下 link:

下载它

https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/86563-matlab-euler-lagrange-library

欧拉-拉格朗日方程的符号微分

Symbolic differentiation with Euler-Lagrange equation

matlab

symbolic-math

differentiation

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示例 1（AVK 的代码）

例2（错误）

示例 3（右）

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