如何使用有损近似从计算点确定贝塞尔曲线控制点？
How to determine the bezier control points from calculated points with lossy approximation?
我对计算曲线的贝塞尔控制有疑问。问题如下图所示：
我的红色点在一个有序列表中，包括C和D。我需要找到F和E。问题是不是每个点都必须在曲线上（曲线不需要通过任何点，除了开始和结束）。它必须是 "approximation".
我已经阅读了以下内容：
- Finding the control point of bezier curves - 仅适用于水平对齐的手柄，我没有中点作为起点。也只找到用户可见的控制点，而不是 F 和 E
- Parametric reconstruction of a NURBS curve - 如果你想在红点之间进行插值，那很好，但这不是我的目标
所以我对如何解决这个问题的想法是：
- 计算通过C和D的直线的最远点
- 如果点数是偶数，查看列表中的上一个点和下一个点，确定哪一个离假想线更远，并计算它们之间的中点
- 三个点不足以得到曲线的形状，我需要 25% 和 75% 的值。幸运的是，有几种方法可以确定这一点：等距法、弧长法和向心法。
- 现在我有 5 个点（开始、25%、中间、75%、结束）来描述我的曲线。我知道每个的 t 值。曲线应如下所示：
据此，我需要以某种方式将点插入贝塞尔公式，然后反向计算控制点...如何？
提前感谢您的任何提示。
我在 "Creating a curve from three points" 部分的 "A Primer on Bézier Curves" 上写了如何完成此操作，但您可能还需要阅读前两部分，因为它们解释了支持理论和代码。
重要的信息是 for any given t, there is a fixed point on the line {start,end} that connects to your on-curve point Bezier(t)。例如，在下图中，点 C 始终 与起点和终点的距离比相同。根据您放置控制点的位置，曲线看起来如何并不重要：在 t=0.5 标记处，C 始终位于起点和终点之间的 mid-way。此外，线段{C,Bezier(t)}与线段{Bezier(t),A}的长度之比是固定的。因此，如果您知道前两点 C 和 Bezier(t)——您知道的——那么您会立即知道 A 的去向，因此您拥有所需的所有信息。
有了它，您可以随心所欲地重建曲线，唯一的自由参数是 t 处的切线，或者更准确地说，左右插值距离。没有超过三个点，这几乎是一个猜测值，并且有一些 "aesthetically pleasing" 选项，但其中 none 适用于您的情况：您在选择的 t 值周围有很多点然后您可以根据这些对切线进行有根据的猜测，并且您可以使用该信息简单地重建三次贝塞尔曲线。
在没有信息的情况下，安全的路线是根据 De Casteljau 算法所说的插值线段所在的位置来选择距离，并选择它们的中心：
但是根据您的数据，您可以获得更好的拟合度。
最简单的是最小二乘近似。如果B(t)是贝塞尔方程，Pi是要逼近的点，ti是对应的参数值，你要最小化 LSQ = ∑i||B(ti)-Pi||2 = ∑i ((Bx(ti) -Pxi)2 + ((By(ti)-Pyi)2).可以把F和E的坐标作为变量，所以得到四个一次方程，在四个变量中：∂/∂Fx(LSQ)=0, ∂/∂Fy (LSQ)=0, ∂/∂Ex(LSQ)=0, ∂/∂ Ey(LSQ)=0。它们可以使用标准方法求解。要找到相应的参数值，您可以使用弦长近似，结果很好：ti = ||Pi - Pi-1|| /总计，总计 = ||D-Pn|| + ∑||Pi-Pi-1||（取P0=C）。如果需要最好的近似，可以refine使用迭代算法的参数。
我对计算曲线的贝塞尔控制有疑问。问题如下图所示：
我的红色点在一个有序列表中，包括C和D。我需要找到F和E。问题是不是每个点都必须在曲线上（曲线不需要通过任何点，除了开始和结束）。它必须是 "approximation".
我已经阅读了以下内容：
- Finding the control point of bezier curves - 仅适用于水平对齐的手柄，我没有中点作为起点。也只找到用户可见的控制点，而不是 F 和 E
- Parametric reconstruction of a NURBS curve - 如果你想在红点之间进行插值，那很好，但这不是我的目标
所以我对如何解决这个问题的想法是：
- 计算通过C和D的直线的最远点
- 如果点数是偶数，查看列表中的上一个点和下一个点，确定哪一个离假想线更远，并计算它们之间的中点
- 三个点不足以得到曲线的形状，我需要 25% 和 75% 的值。幸运的是，有几种方法可以确定这一点：等距法、弧长法和向心法。
- 现在我有 5 个点（开始、25%、中间、75%、结束）来描述我的曲线。我知道每个的 t 值。曲线应如下所示：
据此，我需要以某种方式将点插入贝塞尔公式，然后反向计算控制点...如何？
提前感谢您的任何提示。
我在 "Creating a curve from three points" 部分的 "A Primer on Bézier Curves" 上写了如何完成此操作，但您可能还需要阅读前两部分，因为它们解释了支持理论和代码。
重要的信息是 for any given t, there is a fixed point on the line {start,end} that connects to your on-curve point Bezier(t)。例如，在下图中，点 C 始终 与起点和终点的距离比相同。根据您放置控制点的位置，曲线看起来如何并不重要：在 t=0.5 标记处，C 始终位于起点和终点之间的 mid-way。此外，线段{C,Bezier(t)}与线段{Bezier(t),A}的长度之比是固定的。因此，如果您知道前两点 C 和 Bezier(t)——您知道的——那么您会立即知道 A 的去向，因此您拥有所需的所有信息。
有了它，您可以随心所欲地重建曲线，唯一的自由参数是 t 处的切线，或者更准确地说，左右插值距离。没有超过三个点，这几乎是一个猜测值，并且有一些 "aesthetically pleasing" 选项，但其中 none 适用于您的情况：您在选择的 t 值周围有很多点然后您可以根据这些对切线进行有根据的猜测，并且您可以使用该信息简单地重建三次贝塞尔曲线。
在没有信息的情况下，安全的路线是根据 De Casteljau 算法所说的插值线段所在的位置来选择距离，并选择它们的中心：
但是根据您的数据，您可以获得更好的拟合度。
最简单的是最小二乘近似。如果B(t)是贝塞尔方程，Pi是要逼近的点，ti是对应的参数值，你要最小化 LSQ = ∑i||B(ti)-Pi||2 = ∑i ((Bx(ti) -Pxi)2 + ((By(ti)-Pyi)2).可以把F和E的坐标作为变量，所以得到四个一次方程，在四个变量中：∂/∂Fx(LSQ)=0, ∂/∂Fy (LSQ)=0, ∂/∂Ex(LSQ)=0, ∂/∂ Ey(LSQ)=0。它们可以使用标准方法求解。要找到相应的参数值，您可以使用弦长近似，结果很好：ti = ||Pi - Pi-1|| /总计，总计 = ||D-Pn|| + ∑||Pi-Pi-1||（取P0=C）。如果需要最好的近似，可以refine使用迭代算法的参数。