逆傅里叶变换

Question

我正在尝试编写 IFT 算法。这是我的代码：

%% Fourier Analysis
N = 20;
T1 = 0.25*N;
T0 = N;
x = [zeros(T1,1); ones(T0/2,1); zeros(T1,1)]';

omega = 2*pi*1/T0;

ak = zeros(1,2*N+1);

for k = -N:N
    if k == 0
        ak(k+N+1) = 2*T1/T0;
    else
        ak(k+N+1) = sin(k*omega*T1)/(k*pi);
    end
end

%Approximate the periodic symmetric square wave
t=linspace(-0.5,0.5,N);

for n=1:length(t)
    xN(n)=0;
    for k = -N:N
        xN(n) = xN(n) + ak(k+N+1).*exp(1i*k*omega*t(n));
    end
end

它有什么问题（我知道 Matlab 有 ifft() 函数，但我想自己写一个）？我用这个代码：

结果应如下所示（EN 为错误）：

其中黑色图是 xN，蓝色图是 x。我的结果是直线。

Answer 1

我不知道你从哪里得到图像中的公式，但是对于离散信号的 N 点傅立叶变换，你只需要从 k 求和 0 到 N-1 以获得精确的重建。 N 正交基函数可以重构任何 N 维信号。您可能会混淆 DTFT with the DFT（您想要其中的第二个）。

我也不明白您用于 ak 系数的公式。您用 sin 计算它们，然后用复指数而不是正弦波对它们求和。

如果你想用复指数做离散傅里叶变换 (DFT)，代码应该类似于我下面的代码。您可以从时间信号 x 和复基函数的内积中得到 ck 系数。

clear; clc;

N = 20;                                        %// number of points

x = [zeros(1,N/4),ones(1,N/2),zeros(1,N/4)];   %//time signal data
n = 0:N-1;

ck = zeros(1,N);
for k = 0:N-1                                  %//cacluate coefficients
    ck(k+1) = sum(x.*exp(-1i*2*pi*k*n/N));
end

xN = zeros(1,N);
for k = 0:N-1                                  %// add partial frequencies
    xN = xN + ck(k+1)*exp(1i*2*pi*k*n/N)/N;
end

plot(n,xN)

如果你想用真实的正弦波做一个普通的傅里叶级数，你的代码应该是这样的：

clear; clc;

N = 20;                                         %// number of points
T = 1;                                          %// fundamental frequency
omega = 2*pi/T;                                 %// angular frequency

t = linspace(-0.5,0.5,N);                       %// time points
x = [zeros(1,N/4),ones(1,N/2),zeros(1,N/4)];    %// time signal data

a0 = sum(x)/N;  ak = zeros(1,N);    bk = zeros(1,N);
for k = 1:N-1                                   %// calculate coefficients
    ak(k) = sum(x.*cos(omega*k*t))/N;
    bk(k) = sum(x.*sin(omega*k*t))/N;
end

xN = a0*cos(omega*0*t);                         %// add DC offset
for k = 1:N-1                                   %// add partial frequencies
    xN = xN + ak(k)*cos(omega*k*t) + bk(k)*sin(omega*k*t);
end

plot(t,xN)

逆傅里叶变换

Inverse fourier transform

matlab

signals

fft

ifft