在 MATLAB 中逼近积分

Question

我一直在尝试在 MATLAB 中实现以下积分

给定一个数字 n，我写了代码 returns 一个有 n 个元素的数组，包含每个积分的近似值。

首先，我尝试使用 'for' 循环和第一行的递推关系。但是从第20个积分及以上的数值就完全错误了（正确为0位有效数字和错误的符号）。

如果我在第二行和两个 'for' 循环中使用显式公式，情况也是如此。

随着 n 变大，近似值的误差也会变大。

所以这里的主要问题是我还没有找到尽可能减少错误的方法。

有什么想法吗？提前致谢。

下面是代码示例和结果值，使用第二个公式：

对于 n 的正值，此积分的值不能 >1 或 <0

Answer 1

第一次尝试：

我尝试了迭代法，发现了一些有趣的东西。近似值可能不适用于所有 n。事实上，如果我在每个循环中跟踪 (n-1)*I(n-1)，我可以看到

I = zeros(20,3);
I(1,1) = 1-1/exp(1);
for ii = 2:20
    I(ii,2) = ii-1;
    I(ii,3) = (ii-1)*I(ii-1,1);
    I(ii,1) = 1-I(ii,3);
end

n=18 有一些问题。事实上，I18 = 0.05719 和 18*I18 = 1.029 都大于 1。我认为这个程序没有任何数值错误或数值溢出。

第二次尝试：

为了确保数学正确（我在纸上验证了两次）我使用trapz对积分进行了数值计算，n=18没有造成任何问题。

>> x = linspace(0,1,1+1e4);
>> f = @(n) exp(-1)*exp(x).*x.^(n-1);
>> f = @(n) exp(-1)*exp(x).*x.^(n-1)*1e-4;
>> trapz(f(5))

ans =

     1.708934160520510e-01

>> trapz(f(17))

ans =

     5.571936009790170e-02

>> trapz(f(18))

ans =

     5.277113416899408e-02

>>

细看如下。 I18 在（稳定的）数值方法和（不稳定的）迭代方法之间略有不同（到第 4 个有效数字）。 18*I18因此有可能超过1。

I = zeros(20,3);
I(1,1) = 1-1/exp(1);
for ii = 2:20
    I(ii,2) = ii-1;
    I(ii,3) = (ii-1)*I(ii-1,1);
    I(ii,1) = 1-I(ii,3);
end

J = zeros(20,3);
x = linspace(0,1,1+1e4);
f = @(n) exp(-1)*exp(x).*x.^(n-1)*1e-4;
J(1,1) = trapz(f(1));
for jj = 2:20
    J(jj,1) = trapz(f(jj));
    J(jj,2) = jj-1;
    J(jj,3) = (jj-1)*J(jj-1,1);
end

我怀疑由于数值计算的性质，每个迭代步骤都存在错误。如果迭代很长，错误就会传播，不幸的是，在这种情况下，错误会迅速扩大。为了验证这一点，我将上述两种方法结合成一个混合算法。大多数情况下使用迭代方法，偶尔从头开始评估数值积分而不依赖以前的迭代。

K = zeros(40,4);
K(1,1) = 1-1/exp(1);
for kk = 2:40
    K(kk,2) = trapz(f(kk));
    K(kk,3) = (kk-1)*K(kk-1,1);
    K(kk,4) = 1-K(kk,3);
    if mod(kk,5) == 0
        K(kk,1) = K(kk,2);
    else
        K(kk,1) = K(kk,4);
    end
end

如果迭代持续超过4步，误差放大将大到足以反转符号，并开始不可恢复的振荡。

代码应该可以解释所有的数据结构。无论如何，让我把重点放在这里。第二列是trapz的结果，是对I(n)的非迭代积分定义做的数值积分。第三列为 (n-1)*I(n-1)，应始终为正且小于 1。第四列为 1-(n-1)*I(n-1)，应始终为正。第一列是我在 trapz 结果和迭代结果之间做出的选择，即 I(n) 的 "true" 值。

从这里可以看出，与独立数值方式相比，每次迭代都有一个小误差。错误在第 3 次和第 4 次迭代中增长，并最终在第 5 次时破坏了它。这是在 n=25 附近观察到的，在我从一开始就每 5 个循环中选择数值结果的情况下。

结论：这个积分的任何定义都没有错。然而，不幸的是，评估表达式时的数值错误是聚合的，因此限制了您可以执行计算的方式。

在 MATLAB 中逼近积分

Approximating an integral in MATLAB

floating-point

precision

matlab