从协方差矩阵中找出概率椭圆

Question

我正在尝试将我们的数据逆向工程为显然应该是概率椭圆的数据。作为输入，我得到一个包含神秘成员的结构，特别是 meanX、meanY、Co00、Co01 和 Co10。我猜 x 和 y 是椭圆的中心，CoXX 是协方差矩阵。听起来我应该使用特征值和特征向量来找出椭圆的两个半径。我找到了 Eigen c++ 库，但是当我得到向量和值时，我很难弄清楚我必须对 Eigen 计算结果做什么。我如何找到两个半径和椭圆倾斜度？

Answer 1

设：

m = (meanX)
    (meanY)

是（向量）均值并且：

S = (Co00 Co01)
    (Co01 Co11)

为数据的协方差矩阵。椭圆的中心是m，椭圆的轴是矩阵S的特征向量e1和e2（短轴e1关联到 S 的最小特征值）。半径与 sqrt(λ1) 和 sqrt(λ2) 成正比，其中 λ1 和 λ2 是与 e1 和 e2 关联的特征值。最后，椭圆的倾斜度为 atan2(e2_y, e2_x)（长轴与 x 轴之间的角度）。

这一切都来自矩阵 S 的对角化和扩展表达式 (X - m)^T S^-1 (X - m) = 1 以匹配预期形式 (x / a)^2 + (y / b)^2 = 1。请注意，如果查看特定的置信度，则应缩放半径，对于 95% 的置信度，缩放因子为 sqrt(5.911).

使用 Eigen，以下代码应该可以工作：

#include <Eigen/Eigenvalues>

// [...]

Vector2d m;
Matrix2d S;

m << meanX, meanY;
S << Co00, Co01, Co01, Co11;

SelfAdjointEigenSolver<Matrix2d> solver(S);
double l1 = solver.eigenvalues().x();
double l2 = solver.eigenvalues().y();
Vector2d e1 = solver.eigenvectors().col(0);
Vector2d e2 = solver.eigenvectors().col(1);

double scale95 = sqrt(5.991);
double R1 = scale95 * sqrt(l1);
double R2 = scale95 * sqrt(l2);
double tilt = atan2(e2.y(), e2.x());

从协方差矩阵中找出概率椭圆

Figuring out probability ellipse from covariance matrix

c++

geometry

eigen3